cri98 ha scritto:anzitutto grazie per il vostro aiuto.
Prego.
Mi sentirei di consigliarti un approccio un po' più tradizionale (un bel libro di Analisi Matematica...
), che magari puoi sì "integrare" con materiale su Internet, questo forum ed eventuali canali tematici: sconsiglierei invece un approccio quasi esclusivamente in Rete, poi naturalmente fai come vuoi...
Comunque vorrei farti notare che nel canale tematico che hai segnalato nessuna serie proposta parte da $n = 0 $: partono tutte da $k = 1 $.
cri98 ha scritto:ho considerato:
$\sum_{n = 0}^{\infty} 1/n^2 $
E dalle... Parte da $n = 1 $, non da $n = 0 $: $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 $
Quest'ultima è la
serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 > 1 $ e pertanto è convergente. Se ne conosce anche la somma:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
cri98 ha scritto:$\lim_{n \to \infty} 1/n^2 = 0 $
quindi converge.
Questo significa solo che la serie
può convergere, dato che è soddisfatta la
condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to \infty} a_n = 0 $, ma non è detto che lo faccia: anche $\lim_{n \to \infty} 1/n = 0 $, ma la serie $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $ è la
serie armonica, notoriamente divergente.
Per concludere ti propongo come esercizio un paio di generalizzazioni, cioè lo studio delle due serie seguenti:
1) $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 (x/a)^n $
con $a > 0 $. Ti faccio incidentalmente notare che se $a = 3 $ si ottiene la serie che hai proposto nell'OP, se $a = 4 $ si ottiene l'ultima serie che hai proposto.
2) $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^b (x/a)^n $
con $a > 0 $ e $b > 0 $. Naturalmente se $a = 3 $ e $b = 2 $ si ottiene la serie che hai proposto nell'OP, se $a = 4 $ e $b = 2 $ si ottiene l'ultima serie che hai proposto.