Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Sfuzzone » 13/01/2020, 13:15

Ciao a tutti, ho svolto alcuni problemi di cui però non conosco il risultato. Volevo chiedere un vostro parere sulla correttezza (o meno) dei procedimenti e sui risultati. Ringrazio in anticipo chiunque potesse aiutarmi. I problemi sono:

1)Il record del mondo sui 10000 m in pista è 26 minuti 17 secondi e 53 centesimi (nello svolgere il problema si trascurino i centesimi). Sapendo che la pista di atletica è lunga 400 m e considerandola perfettamente circolare calcola: il periodo, la frequenza, la velocità angolare, la velocità tangenziale e l'accelerazione centripeta dell'atleta che lo ha stabilito.
2)Un punto si muove di moto circolare uniformemente accelerato su una circonferenza di raggio r0 = 2 m, con accelerazione angolare α=1,5 rad/s^2. All'istante iniziale si trova nella posizione θ0 = 0 e ha una velocità ω0 = 5 rad/s. Calcola: a)la velocità angolare con cui arriva alla fine del settimo giro; b)il tempo che impiega a percorrere l'ottavo e il nono giro (cioè i due giri assieme).
3)Un punto si muove su una traiettoria circolare di raggio r0 = 12 m e possiede un'accelerazione centripeta di modulo |ac|=36 m/s^2 e accelerazione tangenziale nulla. Sapendo che all'istante iniziale si trova a θ0 = 2/3π, calcola la posizione angolare dopo 1 minuto. Qual è lo spazio percorso?

Soluzioni da me proposte:

1)N° giri percorsi dall'atleta: $10000/400=25$; tempo impiegato in secondi $t=26*60+17=1577s$; raggio $r=C/(2π)=400/(6,28)=63,69m$; periodo $T=1577/25=63,08s$; frequenza $f=1/T=1/(63,08)=0,015Hz$; velocità angolare $ω=(2π)/T=(6,28)/(63,08)=0,09(rad)/s$; velocità tangenziale $v=ω*r=0,09*63,69=5,73m/s$; accelerazione centripeta $ac=v^2/r=(5,73)^2/(63,69)=(32,86)/(63,69)=0,51m/s^2$

2)Per trovare la velocità angolare ho dovuto prima ricavare il tempo dalla legge oraria $θ=1/2at^2+ω0t+θ0$; poichè il punto ha percorso 7 giri e $1 giro = 2π rad$ abbiamo che $7 giri=14π rad$: Quindi $14π=1/2*1,5*t^2+5t+0$ ---> $0,75t^2+5t-43,96=0$ ----> $t1,2=[-5+-sqrt(25+131,88)]/(1,5)$ --> scarto la soluzione negativa e ottengo $t=5,01s$; a questo punto ricavo la velocità angolare al 7° giro $ω=ω0+at$ ---> $ω=5+1,5*5,01=12,51(rad)/s$. Per trovare il tempo impiegato a compiere l'8° e il 9° giro insieme, calcolo il tempo impiegato per percorrere 9 giri: $9 giri=18π rad$ ---> $18π=1/2*1,5*t^2+5t+0$ ---> $0,75t^2+5t-56,52=0$ ----> $t1,2=[-5+-sqrt(25+169,56)]/(1,5)$ --> scarto la soluzione negativa e ottengo $t=5,96s$. Differenza tra il tempo impiegato per compiere 9 giri e il tempo impiegato per compiere 7 giri: $5,96-5,01=0,95s$

3)Poichè l'accelerazione tangenziale è nulla il moto è uniforme. Trovo la velocità $v=sqrt(36*12)=sqrt(432)=20,78m/s$. Trovo la velocità angolare $ω=v/r$ ---> $ω=(20,78)/12=1,73 (rad)/s$ . Per trovare la posizione angolare dopo 1 minuto uso la legge oraria $θ(t)=θ0+ωt$ ---> $θ(60s)=2/3π+1,73*60=2,09+103,8=105,89 rad$ ---> $spazio = v*t$ --> $s=20,78*60=1246m$
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Bokonon » 13/01/2020, 18:00

Sfuzzone ha scritto:velocità angolare $ω=(2π)/T=(6,28)/(63,08)=0,09(rad)/s$; velocità tangenziale $v=ω*r=0,09*63,69=5,73m/s$

Qui c'è un errore di approssimazione.
$ω=(2π)/T=(6,28)/(63,08)=0,0996(rad)/s$
$v=ω*r=0,0996*63,69=6,34m/s$
Oppure $ω=(2π)/T rArr v=rω=(2πr)/T=C/T=6,34m/s$
Quindi anche l'accelerazione è sbagliata.
Sfuzzone ha scritto:3)Poichè l'accelerazione tangenziale è nulla il moto è uniforme. Trovo la velocità $v=sqrt(36*12)=sqrt(432)=20,78m/s$. Trovo la velocità angolare $ω=v/r$ ---> $ω=(20,78)/12=1,73 (rad)/s$ .

I procedimenti sono tutti corretti...i risultati però sono quasi sempre approssimati male. Quando puoi, non calcolare immediatamente le virgole (e se lo fai approssima correttamente).
Per esempio in questo esercizio potevi scrivere:
$v=12sqrt(3)m/s$ e $ω=sqrt(3) (rad)/s$

Bravo comunque.
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Sfuzzone » 13/01/2020, 18:37

Grazie mille, molto gentile. domani provo a farne altri e vediamo se combino qualcosa di buono. purtroppo il prof. ci da dei problemi senza risultati e poi in classe non li corregge nemmeno :| :roll: :smt012
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Bokonon » 13/01/2020, 20:19

Abbi fiducia in te!
Io comunque rifarei conti più precisi.

Ah un'altra cosa, quando chiedono la posizione angolare ed hai $K=105,89 rad$, devi eliminare i giri completi.
Fai $K/(2pi)=16, etc$ e poi sottrai $k-16*2pi=5,36 rad$
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Sfuzzone » 14/01/2020, 13:11

Bokonon ha scritto:Abbi fiducia in te!
Io comunque rifarei conti più precisi.

Ah un'altra cosa, quando chiedono la posizione angolare ed hai $K=105,89 rad$, devi eliminare i giri completi.
Fai $K/(2pi)=16, etc$ e poi sottrai $k-16*2pi=5,36 rad$


Grazie del suggerimento
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Sfuzzone » 16/01/2020, 02:28

Ho provato a risolvere altri 2 problemi di cui non ho il risultato, ma dubito di averli risolti correttamente:

1)Un punto A si muove di moto circolare uniformemente accelerato con accelerazione angolare αA=0,1 rad/s^2 e all'istante iniziale si trova a θ0(A) = 0. Un secondo punto B si muove di moto circolare uniforme con ωB = 7 rad/s e all'istante iniziale si trova in θ0(B) = 5/3π. Calcolare la velocità angolare iniziale ω0 del punto A perchè i due punti si incontrino dopo un tempo t = 10 s.

2)Un punto si muove di moto circolare uniformemente accelerato con α=3 rad/s^2 su una circonferenza di raggio r = 2 m. All'istante iniziale si trova a θ0 = 0 e ha una velocità angolare ω0 = 4 rad/s. Scrivere il vettore accelerazione in coordinate polari quando il punto si trova ad un angolo θ = 7/6π e calcolarne il modulo.

Il primo l'ho risolto così:ho trovato la legge oraria dei punti A e B al tempo t = 10 s:

$θA=1/2at^2+ω0(A)t+θ0$ ---> $θA=1/2*0,1*10^2+ω0(A)*10+0$ ---> $θA=5+10*ω0(A)$

$θB=θ0+ωt$ ----> $θB=5/3π+7*10$ ---> $θB=5/3π+70$

Poi ho eguagliato $θA=θB$ ----> $5/3π+70=5+10*ω0(A)$ e facendo i calcoli ho ricavato $ω0(A)=7,02 m/s$

Nel secondo problema non sapevo neppure come partire. Ho trovato l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione centripeta:

$at=a*r=3*2=6m/(s^2)$

$ac=ω^2*r=16*2=32m/(s^2)$

Poi ho trovato l'accelerazione totale:

$aTot=sqrt(at^2+ac^2)=sqrt(32^2+6^2)=sqrt(1060)=32,55 m/s^2$

Per le coordinate polari del vettore dell'accelerazione quando il punto si trova in $θ = 7/6π$ non so come fare: in rete ho trovato formule con le derivate ma io frequento la terza liceo scientifico e le derivate si studiano in quinta. C'entrano per caso seno e coseno? In rete ho letto formule come queste $x(t)=Rcos(θ0+ωt)$ e $y(t)=Rsen(θ0+ωt)$ ma riguardano la posizione del punto P, non le coordinate del vettore accelerazione. Sul libro di testo non trovo nulla e al prof. è inutile chiedere aiuto perchè si rifiuta di correggere in classe gli esercizi che lui stesso assegna per compito (dice che non ha tempo e deve proseguire col programma). Se qualcuno mi può aiutare ringrazio anticipatamente.
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Bokonon » 16/01/2020, 17:00

Sfuzzone ha scritto:$ω0(A)=7,02 m/s$

Il primo esercizio è perfetto eccetto quel $m/s$ che è solo dovuto a stanchezza vista l'ora del post.
Ma ora è bene che ti avverta. Una cosa che devi sapere del regolamento di questo forum è che si debba aprire un thread per ogni esercizio...in modo che chi vuole intervenire non debba specificare a chi o cosa stia rispondendo in mezzo al caos.

Per quanto riguarda il secondo esercizio, ci ho pensato su e sono assai perplesso perchè mi pare assai difficile per le conoscenze di uno studente di terza liceo e non sono sicuro su come procedere o persino se effettivamente la richiesta voglia essere così complicata.
Quindi adesso scrivo un paio di cose in modo succinto e poi sarai tu a dirmi se le comprendi e le hai già viste prima, ok? Così in base a ciò che rispondi proviamo a decifrare la richiesta del problema.

Il vettore di accelerazione (totale) è definito dalla somma delle sue due componenti, ovvero $vec(a(t))=vec(a_(tan)(t))+vec(a_N(t))$

$vec(a_tan)=alphavec(u_(tan)(t))$ ovvero, il vettore dell'accelerazione tangente al tempo t. $alpha$ è costante nel nostro problema, mentre $vec(u_(tan)(t))$ è un versore (ovvero un vettore con norma unitaria) che ci da la direzione al variare del tempo.

$vec(a_N(t))=a_c(t)vec(u_N)$ è invece il vettore dell'accelerazione centripeta che è sempre perpendicolare al primo e va in direzione opposta al vettore di posizione in un moto circolare. Ovviamente $a_c(t)$ varia nel tempo nel nostro esercizio perchè il moto è uniformemente accelerato.

Proviamo a calcolare $vec(a(0)$ ovvero il vettore di acclerazione al tempo zero.
$alpha=3(rad)/s^2$
$a_c(0)=32m/s^2$ come hai correttamente già calcolato.
$vec(u_(tan)(0))=<0,1>$ ovvero il nostro versore punta l'alto nella stessa direzione del moto e quindi della velocità.
$vec(u_N)=<-1,0>$ ovvero il nostro versore della forza centripeta va in direzione opposta a quello della posizione ed è perpendicolare al precedente.

Quindi $vec(a(0))=3*<0,1>+32*<-1,0> = <0,3>+<-32,0> = <-32,3>$
E la sua norma è $||vec(a(0))||=||<-32,3>||=sqrt((-32)^2+3^2)~32,14m/s^2$

Quante di queste cose hai mai visto ed eventualmente in che forma?
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Sfuzzone » 16/01/2020, 21:58

Bokonon ha scritto:$vec(u_(tan)(0))=<0,1>$ ovvero il nostro versore punta l'alto nella stessa direzione del moto e quindi della velocità.
$vec(u_N)=<-1,0>$ ovvero il nostro versore della forza centripeta va in direzione opposta a quello della posizione ed è perpendicolare al precedente.

Quindi $vec(a(0))=3*<0,1>+32*<-1,0> = <0,3>+<-32,0> = <-32,3>$
E la sua norma è $||vec(a(0))||=||<-32,3>||=sqrt((-32)^2+3^2)~32,14m/s^2$

Quante di queste cose hai mai visto ed eventualmente in che forma?


Ti ho capito fino a qui mentre la parte che ho quotato mi riesce incomprensibile. Però non preoccuparti, conoscendo il professore è molto probabile che ci abbia assegnato un esercizio non adatto a studenti di terza liceo (è già capitato più di una volta). spesso non fa che darceli senza verificare cosa ci da. è più che sufficiente così. grazie per tutto il resto.
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Re: Fisica problemi sul moto circolare

Messaggioda Bokonon » 16/01/2020, 23:26

Beh, francamente hai ragione, perchè calcolare il medesimo vettore in $theta=7/6pi$ richiede una serie di conoscenze non indifferenti.
Una cosa però puoi calcolarla ovvero l'accelerazione centripeta quando arriva in $theta=7/6pi$
Quindi prima derivi il tempo $deltat$ necessario per percorrere l'arco con l'equazione della posizione.
Poi usi il risultato per derivare la velocità angolare dall'equazione della velocità...
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