Dubbio sulla dimostrazione Legge di Gauss

Messaggioda alblan68 » 15/01/2020, 15:44

Salve a tutti,
ho creato questa discussione per chiedere spiegazioni inerenti ad un dubbio che mi è sorto qualche tempo fa durante la lettura di un testo.
Il testo dimostra la Legge di Gauss in forma locale a partire dalla prima Equazione di Maxwell. Dopo una serie di passaggi (che per maggior comprensione riscrivo di seguito) si giunge alla conclusione che la derivata parziale rispetto al tempo della differenza tra la divergenza del vettore induzione elettrica e la densità di carica è nulla:

$ "rot "H = G + (partial D)/(partial t) $

$ "div rot "H = "div "G + "div "(partial D)/(partial t) $

$0 = -(partial rho )/(partial t) + (partial )/(partial t)" [div D] "$

$(partial )/(partial t)"[div D -" rho "]"= 0$

Di conseguenza si può affermare che:

$"[div D -" rho "] = cost"$

Ma quest'ultima affermazione a rigore è valida solo rispetto al tempo (la derivata parziale è nulla rispetto al tempo, come scritto sopra).
Se ora mi pongo in una porzione di spazio "infinitamente" lontana da una qualsiasi carica posso affermare che in quella regione avrò densità di carica nulla e vettore di induzione elettrica nullo e potrò quindi affermare che cost=0 e di coseguenza che in quella porzione di spazio avrò sempre che

$"div D =" rho$ " che è la Legge di Gauss in forma locale".

Ma questo è vero in "quella porzione di spazio", come faccio ad affermare che lo sia in qualunque punto dello spazio (rammento che la derivata che ho precedentemente dimostrato annullarsi è fatta solo rispetto al tempo)? Quale ragionamento mi porta ad affermare che se cost = 0 in quella regione di spazio lo è "sempre" (e questo mi va bene) ma anche "ovunque" (ed è questo che non riesco a capire)?

Ringrazio anticipatamente tutti coloro che hanno avuto la pazienza di leggermi fino a qua.
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Re: Dubbio sulla dimostrazione Legge di Gauss

Messaggioda ZerOmega » 16/01/2020, 18:07

Ciao. Cosa ha di speciale "quella regione di spazio" rispetto alle altre? Lo spazio è omogeneo e isotropo. Non puoi distinguere una direzione preferenziale o un punto differente. Ovviamente parliamo di spazio geometrico, poiché se in quel punto vi è un blocco di metallo o qualunque altre perturbazione le cose cambiano. Quindi la natura locale del formalismo usato e l'omogeneità dello spazio sono entrambe condizioni necessarie alla conclusione data. Otteniamo condizioni anche sufficienti se uniamo pure l'annullamento di quella derivata temporale unita alla omogeneità del tempo.
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Re: Dubbio sulla dimostrazione Legge di Gauss

Messaggioda alblan68 » 17/01/2020, 09:52

ZerOmega ha scritto:Ciao. Cosa ha di speciale "quella regione di spazio" rispetto alle altre? Lo spazio è omogeneo e isotropo. Non puoi distinguere una direzione preferenziale o un punto differente. Ovviamente parliamo di spazio geometrico, poiché se in quel punto vi è un blocco di metallo o qualunque altre perturbazione le cose cambiano. Quindi la natura locale del formalismo usato e l'omogeneità dello spazio sono entrambe condizioni necessarie alla conclusione data. Otteniamo condizioni anche sufficienti se uniamo pure l'annullamento di quella derivata temporale unita alla omogeneità del tempo.

Probabilmente non ho capito la tua risposta quindi provo a riassumere per vedere se ci arrivo. "Quella regione" ha di differente che è distante da qualsiasi carica e quindi in quella porzione di spazio posso affermare che D e Ro sono entrambi nulli e quindi anche la loro differenza è nulla e quindi la costante è nulla. Ma che il valore di quella differenza sia costante io l'ho dimostrato solo rispetto al tempo mentre può tranquillamente essere variabile nello spazio. Io, fin dove sono arrivato io a capire, ho dimostrato che quella differenza è costante nel tempo, quindi se in una certa zona è 0 (dove per esempio D=0 e Ro=0) rimarrà sempre 0, se in un'altra è 34 (per esempio) rimarrà sempre 34. Mi rimane da spiegarmi perchè e cosa mi dice che quella differenza è nulla ovunque.
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Re: Dubbio sulla dimostrazione Legge di Gauss

Messaggioda ZerOmega » 17/01/2020, 10:13

Sì ma non c'è nessuna differenza tra una zona e l'altra in cui $D=\rho=0$. Perché lo spazio è omogeneo e isotropo. Ovviamente se in quel punto c'è qualcosa per cui il valore è costante non nullo, questo non vale. Ma tu stai valutando un campo generato da una densità di carica. Se poni tale densità pari a zero non c'è alcuna possibilità che sia 34 altrove, a meno che non ci siano altre densità di cariche che generano altri campi. Ma non è ciò che stai dimostrando. La natura locale della relazione si riflette nel fatto che la considerazione la puoi fare solo localmente. È naturale o sarebbe un controsenso se l'annullamento della derivata fosse anche spaziale, ti pare?. Se vuoi una relazione globale devi passare alla descrizione integrale.

Volendo potresti scorporare dalla fisica tutta questa discussione ed appoggiarti completamente alla matematica. Questo è fondamentalmente un teorema squisitamente matematico. Dovresti però partire da una relazione integrale. Ma qui si fa fisica quindi meglio avere chiari certi concetti.
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Re: Dubbio sulla dimostrazione Legge di Gauss

Messaggioda alblan68 » 17/01/2020, 11:21

ZerOmega ha scritto:Sì ma non c'è nessuna differenza tra una zona e l'altra in cui $D=\rho=0$. Perché lo spazio è omogeneo e isotropo. Ovviamente se in quel punto c'è qualcosa per cui il valore è costante non nullo, questo non vale. Ma tu stai valutando un campo generato da una densità di carica. Se poni tale densità pari a zero non c'è alcuna possibilità che sia 34 altrove, a meno che non ci siano altre densità di cariche che generano altri campi. Ma non è ciò che stai dimostrando. La natura locale della relazione si riflette nel fatto che la considerazione la puoi fare solo localmente. È naturale o sarebbe un controsenso se l'annullamento della derivata fosse anche spaziale, ti pare?. Se vuoi una relazione globale devi passare alla descrizione integrale.

Volendo potresti scorporare dalla fisica tutta questa discussione ed appoggiarti completamente alla matematica. Questo è fondamentalmente un teorema squisitamente matematico. Dovresti però partire da una relazione integrale. Ma qui si fa fisica quindi meglio avere chiari certi concetti.

Mi stai indirizzando, provo a seguirti se hai ancora la pazienza di leggermi.
Probabilmente è il presupposto dal quale io parto che è sbagliato. Il mio errore alla base del ragionamento è che non ho messo in conto che sto facendo delle considerazioni su come e quanto il "locale" influenza se stesso ed il suo contorno.
Quindi tu dici che se io sono in una porzione di spazio nella quale $D=\rho=0$ (dato che siamo in assenza di carica) questo varrà chiaramente anche in tutte le rimanenti porzioni di spazio (se chiaramente anche là non ci sono cariche). Quindi il ragionamento è che $ D=\rho=0 $ in tutti i punti dello spazio (sempre considerando l'influenza della mia porzione di spazio "scarica" di partenza, non sto considerando l'eventuale influenza di altre cariche presenti). Se a questo aggiungo il fatto, che ho precedentemente dimostrato, della costanza nel tempo della differenza di cui stiamo disquisendo posso affermare che "nulla si crea e nulla si distrugge", ciò che è nullo rimmarrà nullo se non arriva nel frattempo niente a cambiare le carte in tavola. L'esistenza o meno del campo elettrico (o dell'induzione elettrica) è dovuta alla presenza di densità di carica che ne determina anche l'intensità (intesa come sorgente).
Se mi sono avvicinato al significato di ciò di cui stiamo parlando mi hai aperto un mondo dal punto di vista dell'approccio ispettivo a queste specificità.
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Re: Dubbio sulla dimostrazione Legge di Gauss

Messaggioda ZerOmega » 17/01/2020, 12:56

Sì mi pare tu abbia ora colto il nocciolo della questione.
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Re: Dubbio sulla dimostrazione Legge di Gauss

Messaggioda alblan68 » 17/01/2020, 14:14

ZerOmega ha scritto:Sì mi pare tu abbia ora colto il nocciolo della questione.

Grazie, davvero.
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