Esempio di spazi affini ma allo stesso non vettoriali et simili

Messaggioda francox » 14/01/2020, 21:58

Vorrei un esempio di questo tipo di spazi

1. spazio affine ma non vettoriale
2. spazio affine, vettoriale ma non normato
3. spazio affine, vettoriale, normato ma non metrico
4. spazio affine, vettoriale, normato, metrico ma non topologico
5. spazio affine, vettoriale, normato, metrico e topologico

Da quello che ho letto
the empty set has an affine structure but not a vector space structure


Ci sono altri esempi?

Per il 5 punto possiamo considerare lo spazio euclideo un esempio.
La topologia di Zariski non so come collocarla, so che è una topologia sullo spazio affine, ma non essendo metrizzabile suppongo che non sia nè metrico, nè normato, nè vettoriale, ma uno spazio affine topologico ma non vettoriale?
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Messaggioda j18eos » 14/01/2020, 23:47

Qual è la tua definizione di spazio affine?

Inoltre, un qualsiasi spazio metrico ammette una topologia; per cui la domanda \(\displaystyle4\) la reputo assurda!, a meno di qualche tuo chiarimento...
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Re: Esempio di spazi affini ma allo stesso non vettoriali et simili

Messaggioda francox » 15/01/2020, 18:05

La mia definizione di spazio affine è questa:

Uno spazio è affine se il principale spazio omogeneo (torsore) dello spazio vettoriale agisce come il gruppo additivo delle traslazioni.

Si..è vero che ogni spazio metrico induce una topologia, ma non ogni topologia è indotta da una metrica, vedi la topologia di Zariski.

Il fatto è che, per come hanno definito lo spazio affine, questo è sempre ottenibile da uno spazio vettoriale (per via del torsore), in questo modo ammettendo sempre l "estraibilità" di uno spazio affine dallo spazio vettoriale i fisici possono sempre garantirsi l'indipendenza dal sistema di riferimento.
Tant' è che anche se 2 tipi di spazi diversi, dire affine o vettoriale sembrano 2 facce della stessa medaglia utilissima da avere per poter giustificarne l'uso, a seconda del problema che si vuol risolvere, 2 motivazioni differenti
E a me questo modo di costruire le definizioni non mi piace.

È ovvio che usare lo spazio affine per garantirsi l indipendenza dal sistema di coordinate è utile cosi come è utile fare l esatto opposto tirando in ballo l altra faccia della medaglia dello spazio affine: lo spazio vettoriale.
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Messaggioda j18eos » 15/01/2020, 22:40

francox ha scritto:[...]è vero che ogni spazio metrico induce una topologia, ma non ogni topologia è indotta da una metrica, vedi la topologia di Zariski.[...]
E siamo d'accordo; ma tu hai anche scritto:
francox ha scritto:Vorrei un esempio di [...] spazio affine, vettoriale, normato, metrico ma non topologico[...]
Errore di stampa? :?:
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Re: Esempio di spazi affini ma allo stesso non vettoriali et simili

Messaggioda francox » 16/01/2020, 00:05

Si, ho sbagliato, probabilmente ho invertito di leggere il senso della definizione.

Uno spazio metrico induce sempre una topologia anche se uno spazio metrico non è, per definizione, uno spazio topologico ed ecco perchè una topologia può non essere sempre indotta da una metrica.

Da quello che so è sempre possibile ottenere da uno spazio vettoriale uno spazio affine.

an affine space is a group action on a set, specifically a vector space acting on a set faithfully and transitively


Cioè, è impossibile 'slegare' lo spazio affine dallo spazio vettoriale questo perchè uno spazio affine è semplicemente uno spazio vettoriale, ma con morfismi diversi; una mappa lineare affine è una funzione che è la differenza tra una mappa lineare e una funzione costante

Ma allora io non cerco uno spazio che sia affine, ma non vettoriale.. se poi mi ripetono sempre che lo spazio affine è comunque uno spazio vettoriale per come può essere ottenuto (cioè sempre da uno spazio vettoriale..)

Io cerco uno spazio "affine" ma non vettoriale. Ho messo tra le virgolette quel "affine" per distinguerlo da quello affine, che lo scrivo in corsivo. Lo scrivo in corsivo perchè quel affine è in verità ottenibile sempre da uno spazio vettoriale, ma l'affine che cerco io non deve e non può essere ottenuto da uno spazio vettoriale.

Per come ho impostato il problema il fatto che l'insieme vuoto abbia una struttura affine ma non vettoriale non ha senso per me se quello che cerco è un "affine" che non può essere ottenuto in alcun modo da uno spazio vettoriale.

Non so se riesco a far passare il messaggio.
Ho paura che questo tipo di spazio non può esistere e quindi non può nemmeno essere un' insieme vuoto, quindi sospetto che la 'natura' dello spazio che cerco non è affine e quindi sicuramente non vettoriale.
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Re: Esempio di spazi affini ma allo stesso non vettoriali et simili

Messaggioda gugo82 » 16/01/2020, 02:59

La situazione continua a non esser chiara.

Uno spazio affine è un insieme $mathcal(A)$ (i cui elementi sono detti punti) su cui uno spazio vettoriale $mathbb(V)$ agisce in un certo modo; in tal caso, si dice che $mathcal(A)$ è modellato su $mathbb(V)$.
Si dimostrano due fatti: 1) ogni spazio vettoriale $mathbb(V)$ si può dotare di struttura di spazio affine modellato su se stesso e 2) ogni spazio affine $mathcal(A)$ si può dotare di struttura vettoriale.
Alla luce di ciò, cosa vuol dire trovare uno spazio affine che non sia vettoriale?

Allo stesso modo, ogni norma induce una metrica ed ogni metrica induce una topologia; quindi che vuol dire trovare uno spazio normato che non sia metrico? O uno spazio metrico che non sia topologico?

Credo tu debba fare un po' di chiarezza… Insomma, quanto detto qui un anno e mezzo fa resta ancora valido.
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Re: Esempio di spazi affini ma allo stesso non vettoriali et simili

Messaggioda solaàl » 16/01/2020, 07:52

gugo82 ha scritto:2) ogni spazio affine $mathcal(A)$ si può dotare di struttura vettoriale.
Alla luce di ciò, cosa vuol dire trovare uno spazio affine che non sia vettoriale?
francox: questo significa che fissato arbitrariamente un punto \(P\) di \(\mathbb A\), e chiamata \(+ : \mathbb A \times V \to \mathbb A\) l'azione di \(V\) su \(\mathbb A\), la funzione \(V\to \mathbb A : v\mapsto P+v\) (ossia la "traslazione del punto \(P\) mediante il vettore \(v\)) è una biiezione.

Questo implica che \(\mathbb A\) "è" uno spazio vettoriale: esattamente lo spazio vettoriale dove il punto \(P\) fa da origine.

Ciò detto, questa identificazione dipende da \(P\), e quindi non è canonica in nessun senso (com'è giusto che sia: la definizione di spazio affine serve per modellare uno spazio che somiglia a uno spazio vettoriale ma che sia isòtropo) penso significhi trovare un esempio di spazio affine che non nasca mediante il punto 1 di gugo, ossia che non sia semplicemente l'insieme dei vettori di \(V\) "spogliato" della sua struttura di spazio vettoriale.

Mi vengono in mente due esempi in tal senso:

1. L'insieme dei complementari di \(W\le V\). Dato uno spazio vettoriale \(V\) e un suo sottospazio \(W\le V\), entrambi di dimensione finita, diciamo rispettivamente \(n\) ed \(m\le n\), consideriamo l'insieme
\[
\mathscr{S}_W = \{U\le V\mid U\oplus W =V\}
\] cioè l'insieme dei sommandi diretti di \(W\) in \(V\) (\(U\oplus W\) significa, come sempre, che l'intersezione \(U\cap W\) è zero, e che la somma dei due è tutto \(V\)). Ora: tale insieme è uno spazio affine modellato sullo spazio vettoriale \(\hom_K(V/W,W)\), e quindi ha dimensione \(\dim \hom_K(V/W,W)=(n-m)m\).

Infatti l'applicazione \[\odot : \mathscr{S}_W \times \hom_K(V/W,W) \to \mathscr{S}_W\] che testimonia quanto detto è definita come segue: dato un sommando diretto \(U\in\mathscr{S}_W\) il primo teorema di isomorfismo implica che \(U\cong V/W\) (diciamo mediante un isomorfismo \(\sigma\)) e quindi ogni coppia \((U,\varphi : V/W\to W)\) determina una coppia \((U, \varphi\circ\sigma : U \to W)\). Definiamo allora \(U\odot \varphi\) come il sottospazio \(\{u+\varphi(\sigma(u)) \mid u\in U\}\). (da ora in poi scrivo \(\varphi'=\varphi\sigma\) per fare prima.)

Questo è un altro sommando diretto di \(W\) in \(V\): infatti se esiste un vettore nell'intersezione tra \(U\odot\varphi\) e \(W\), esso è della forma \(w=u+\varphi'(u)\); del resto allora deve essere zero, perché \(U,W\) sono sommandi diretti per ipotesi, e \(\varphi'(u)\in W\): più precisamente, \(u=w-\varphi'(u)\) implica che \(u=0\), perché \(u\in W\cap U=(0)\). In maniera simile, mostri che la somma di \(W\) e \(U\odot \varphi\) resta tutto \(V\). Gli assiomi di spazio affine (ossia il fatto che questa è un'azione del gruppo abeliano \(\hom_K(V/W,W)\) su \(\mathscr{S}_W\) che è strettamente transitiva) li lascio verificare a te.

2. Un caso particolare di questa costruzione dà una scelta canonica per una struttura di spazio affine sull'insieme dei sommandi diretti di un iperpiano \(H\) di \(V\), ossia sull'insieme delle rette che sono in somma diretta con l'iperpiano \(H\): questo dà conto del fatto che il complementare di un iperpiano in uno spazio proiettivo \(\mathbb{P}(V)\) è uno spazio affine (cosa che si può vedere in molti modi, ma che solitamente viene mostrata in modo dipendente dalla scelta di un generatore per tale complementare).

Infine, osserva che c'è una seconda descrizione per l'azione \(\odot\), che da un lato generalizza la maniera in cui si definisce il sottogruppo delle traslazioni nel gruppo delle affinità di \(V\) e dall'altro dà una dimostrazione alternativa del fatto che \(\mathcal{S}_W\) è uno spazio affine: consideriamo l'insieme
\[
\mathbb{T} = \{\tau : V \to V\mid \tau|_W = 1_W, \quad \tau/W = 1_{V/W} \}
\] cioè l'insieme degli automorfismi di \(V\) che si restringono alla identità su $W$ e che inducono il morfismo identico sul quoziente \(V /W\). La struttura di spazio vettoriale di \(\mathbb T\) è data dalla composizione di applicazioni lineari (dimostra che, in questo caso molto particolare, la composizione di applicazioni è commutativa!) e la moltiplicazione
per gli scalari di \(K\) è definita ponendo \(\alpha\cdot\tau = 1_V + \alpha(\tau - 1_V)\)

Con una opportuna scelta dalla base di \(V\), gli elementi di \(\mathbb T\) sono rappresentati da
matrici a blocchi del tipo \(\left(\begin{smallmatrix}
1_m & A \\
0_{n-m,m} & 1_{n-m}
\end{smallmatrix}\right)\) con \(A \in M_{m,n-m}(K)\) (questa matrice è la matrice di un \(\varphi \in \hom_K(V/W,W)\) nelle notazioni precedenti); in questa rapprensetazione è più facile dimostrare che il prodotto tra matrici di questa forma è commutativo. Ora, l'azione di \(\tau \in\mathbb{T}\) su un sommando diretto \(U\) di \(W\) è data da \(U \odot \tau = \tau(U)\).
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Re:

Messaggioda arnett » 16/01/2020, 12:55

j18eos ha scritto:
francox ha scritto:Vorrei un esempio di [...] spazio affine, vettoriale, normato, metrico ma non topologico[...]
Errore di stampa? :?:


Bisognerebbe considerare uno spazio che ha una metrica e una topologia non indotta dalla metrica, ma è un esempio capzioso: nessuno avrebbe necessità di considerare una metrica che non induca la topologia.
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Messaggioda j18eos » 16/01/2020, 15:13

Pur'io pensavo a una possibilità del genere...
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Messaggioda arnett » 17/01/2020, 09:58

j18eos ha scritto:Pur'io pensavo a una possibilità del genere...


L'esempio meno strano che mi viene è questo. Sia $\Omega$ aperto connesso di $\RR^n$. Si prende $W^1:=\{u \in L^2(\Omega): \nabla u \in L^2(\Omega, \RR^n)\}$ con la norma $||u||_{W^1(\Omega}}^2=\int_\Omega u^2 + \int_\Omega |\nabla u|^2$, il gradiente è sempre inteso in senso debole. Questo ha anche, se volete la metrica di $L^2$ (dato che ne è un sottoinsieme, anzi un sottospazio topologico), che però non induce la topologia. Cioè: coesistono due metriche, ma solo una viene scelta per indurre la topologia, nonostante ciò l'altra metrica (quella di $L^2$) non è del tutto inutile.
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