Salve a tutti,
ho creato questa discussione per chiedere spiegazioni inerenti ad un dubbio che mi è sorto qualche tempo fa durante la lettura di un testo.
Il testo dimostra la Legge di Gauss in forma locale a partire dalla prima Equazione di Maxwell. Dopo una serie di passaggi (che per maggior comprensione riscrivo di seguito) si giunge alla conclusione che la derivata parziale rispetto al tempo della differenza tra la divergenza del vettore induzione elettrica e la densità di carica è nulla:
$ "rot "H = G + (partial D)/(partial t) $
$ "div rot "H = "div "G + "div "(partial D)/(partial t) $
$0 = -(partial rho )/(partial t) + (partial )/(partial t)" [div D] "$
$(partial )/(partial t)"[div D -" rho "]"= 0$
Di conseguenza si può affermare che:
$"[div D -" rho "] = cost"$
Ma quest'ultima affermazione a rigore è valida solo rispetto al tempo (la derivata parziale è nulla rispetto al tempo, come scritto sopra).
Se ora mi pongo in una porzione di spazio "infinitamente" lontana da una qualsiasi carica posso affermare che in quella regione avrò densità di carica nulla e vettore di induzione elettrica nullo e potrò quindi affermare che cost=0 e di coseguenza che in quella porzione di spazio avrò sempre che
$"div D =" rho$ " che è la Legge di Gauss in forma locale".
Ma questo è vero in "quella porzione di spazio", come faccio ad affermare che lo sia in qualunque punto dello spazio (rammento che la derivata che ho precedentemente dimostrato annullarsi è fatta solo rispetto al tempo)? Quale ragionamento mi porta ad affermare che se cost = 0 in quella regione di spazio lo è "sempre" (e questo mi va bene) ma anche "ovunque" (ed è questo che non riesco a capire)?
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che hanno avuto la pazienza di leggermi fino a qua.