Applicazione lineare. Passare da una base B alla base canonica

Messaggioda motemeno » 16/01/2020, 14:25

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Salve, questo è l'esercizio che propongo, in quanto è da circa due ore che cerco in tutti i forum di matematica, ma non sono riuscito a trovare anche solo un metodo di risoluzione di questo esercizio. Vi ringrazio in anticipo :D
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Re: APPLICAZIONE LINEARE. PASSARE DA UNA BASE B ALLA BASE CANONICA

Messaggioda gugo82 » 16/01/2020, 15:42

Il saggio dice: “cerca la risposta dentro di te, non in tutti i forum di Matematica”.

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Re: APPLICAZIONE LINEARE. PASSARE DA UNA BASE B ALLA BASE CANONICA

Messaggioda motemeno » 16/01/2020, 16:05

ho provato a trovare la matrice cambiamento di base, ma passando da r4 a r3 non so se devo costruire una matrice 4x4 o 3x3. E comunque una volta trovata non so cosa ci devo fare. In questo tipo di esercizio non so proprio come muovermi.
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Re: APPLICAZIONE LINEARE. PASSARE DA UNA BASE B ALLA BASE CANONICA

Messaggioda Sergio » 16/01/2020, 17:33

gugo82 ha scritto:Il saggio dice: “cerca la risposta dentro di te, non in tutti i forum di Matematica”.

Quasi quasi, più che "dentro di te", "dentro il libro di testo, là dove definisce le matrici associate" :-)
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: APPLICAZIONE LINEARE. PASSARE DA UNA BASE B ALLA BASE CANONICA

Messaggioda Bokonon » 16/01/2020, 18:27

gugo82 ha scritto:Il saggio dice: “cerca la risposta dentro di te, non in tutti i forum di Matematica”.

Però come dice un altro grande santone, spesso è sbajata
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Re: Applicazione lineare. Passare da una base B alla base canonica

Messaggioda motemeno » 16/01/2020, 20:45

Quindi? Cosa dovrei fare? Se sono arrivato a questo punto è perché sono disperato e non trovo altra soluzione
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Re: APPLICAZIONE LINEARE. PASSARE DA UNA BASE B ALLA BASE CANONICA

Messaggioda Sergio » 16/01/2020, 20:55

motemeno ha scritto:ho provato a trovare la matrice cambiamento di base, ma passando da r4 a r3 non so se devo costruire una matrice 4x4 o 3x3. E comunque una volta trovata non so cosa ci devo fare. In questo tipo di esercizio non so proprio come muovermi.

Posso capirlo, le prime volte succede, ma cerca di fare la cosa più saggia e rispondi a una semplice domanda: qual è la definizione di matrice associata a un'applicazione lineare?
Poi tutto diventerà semplice (eventualmente con un po' d'aiuto).

PS: Scusa il ritardo, ma non avevo visto il tuo secondo messaggio.
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Re: Applicazione lineare. Passare da una base B alla base canonica

Messaggioda motemeno » 17/01/2020, 15:00

Non ce l'ho chiara questa parte sulle applicazioni lineari...
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Re: Applicazione lineare. Passare da una base B alla base canonica

Messaggioda motemeno » 17/01/2020, 15:01

Cioè non so proprio come dovrei impostare l'esercizio
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Re: Applicazione lineare. Passare da una base B alla base canonica

Messaggioda Sergio » 17/01/2020, 17:30

motemeno ha scritto:Non ce l'ho chiara questa parte sulle applicazioni lineari...

Male, occorre un ripasso altrimenti vai a sbattere.
Provo a mostrarti l'importanza delle definizioni.

Esercizio: Sia $F$ l'applicazione lineare da $RR^4$ a $RR^3$ tale che:
$F((1),(0),(0),(0))=((1),(2),(1)), \quad F((0),(1),(1),(0))=((1),(3),(-1)), \quad F((0),(0),(1),(1))=((3), \(8),(-1)), \quad F((0),(0),(0),(1))=((2),(5),(0))$
Scrivere la matrice associata a $F$ nelle basi canoniche.

Definizione di matrice associata a un'applicazione lineare: Una matrice $A$ che contiene per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo $C$ dei trasformati secondo $T$ [cioè delle immagini per $T$] dei vettori della base di partenza $B$ (da Marco Abate, Geometria, p. 160).

Prima considerazione: cosa c'entrano le matrici di cambiamento di base? Nulla.
Per il resto, la soluzione è maledettamente semplice: basta trovare le immagini per $F$ dei quattro elementi della base canonica di $RR^4$, $e_1=(1,0,0,0), e_2=(0,1,0,0), e_3=(0,0,1,0), e_4=(0,0,0,1)$, e metterle in colonna.
Hai già $F(e_1)=(1,2,1)$ e $F(e_4)=(2,5,0)$.
Quanto a $F(e_2)$, essendo $F$ lineare hai
$F(e_2)=F((0),(1),(0),(0))=F(((0),(1),(1),(0))-((0),(0),(1),(1))+((0),(0),(0),(1)))=((1),(3),(-1))-((3),(8),(-1))+((2),(5),(0))=((0),(0),(0))$
$F(e_3)=F((0),(0),(1),(0))=F(((0),(0),(1),(1))-((0),(0),(0),(1)))=((3),(8),(-1))-((2),(5),(0))=((1),(3),(-1))$
La matrice richiesta non è altro che:
$A=((1,0,1,2),(2,0,3,5),(1,0,-1,0))$
Tutto qui.
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