esercizio serie di potenze

Messaggioda cri98 » 16/01/2020, 19:44

data la serie di potenza stabilire l'intervallo di convergenza:
$ sum^(oo)1/n^2(x/3)^n=sum^oo1/n^2(1/3)^nx^n $
utilizzo il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo) |(a_n+1)/a_n|=lim_(n -> oo) (1/(n+1)^2*1/(3^(n+1)))/(1/n^2*(1/3)^n)= $
$lim_(n -> oo) n^2/(n^2+1+2n)3^n/(3^n+1)= lim_(n -> oo) 1/(1+2n)*1/3=0 $

$l=0$ $R=oo$
è corretto? come proseguo?

stabilire l'intervallo di convergenza:
1)(-3,3)
2)[0,3]
3)[-3,3]
4)[-3,3)
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda ValeForce » 16/01/2020, 19:50

Sembra che per te valga questa uguaglianza, perché??
$n^2/(n^2+1+2n)=1/(1+2n $
"Se dovessi andare in Paradiso una delle cose che porterei con me è il teorema di esistenza degli zeri. L'altra un fumetto di Topolino." -Cit.
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda pilloeffe » 16/01/2020, 20:02

cri98 ha scritto:è corretto?

No.
cri98 ha scritto:come proseguo?

Correggendo ciò che hai sbagliato, ValeForce ti ha già dato un'indicazione... :wink:

Dopodiché non dovresti avere problemi a scoprire che la risposta corretta è la 3).
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda Mephlip » 17/01/2020, 02:03

Non capisco perché approcci così gli esercizi, come ti ho detto qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=205321
in alcuni casi puoi verificare se ciò che scrivi ha senso oppure no; qui è lo stesso, se il raggio di convergenza fosse $+\infty$ la serie convergerebbe in $\mathbb{R}$.
Ma tra le risposte disponibili hai tutti intervalli limitati, quindi è sicuramente sbagliato.
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda cri98 » 17/01/2020, 10:31

ciao ragazzi,
grazie al vostro contributo ottengo:
$ lim_(n -> oo) n^2/(n^2+1+2n)3^n/(3^(n+1))= 1/3 $
$l=1/3$ ottengo quindi $R=3$
intervallo da considerare è$ (-3,3)$, verifico se gli estremi presentano convergenza.
considero $x=-3$
$ sum_(n =0)^(oo)1/n^2(-3/3)^n=(-1)^n1/n^2 $
considero il limite:
$ lim_(n -> oo)1/n^2=0 $
per il criterio di Leibniz converge in$ -3$

considero$ x=3$
$ sum_(0)^(oo)1/n^2(1)^n $
in questo caso ho una serie armonica generalizzata$ sum_(0)^(oo)1/n^(alpha)$ se$ alpha>1 $converge, in questo caso ho $alpha=2$ quindi in$ x=3$ converge
intervallo di convergenza: $[-3,3]$
è corretto?


Grazie :smt023
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda pilloeffe » 17/01/2020, 10:51

cri98 ha scritto:considero$x=3 $
$\sum_0^{\infty} 1/n^2 (1)^n $

in questo caso ho un dubbio, devo calcolare direttamente il limite della serie, oppure deve considerare nuovamente il criterio del rapporto? come procedo?

:shock:
Innanzitutto la serie non può partire da $n = 0 $, altrimenti si annullerebbe il denominatore; poi quella che hai ottenuto è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 > 1 $, notoriamente convergente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
cri98 ha scritto:è corretto?

pilloeffe ha scritto:Dopodiché non dovresti avere problemi a scoprire che la risposta corretta è la 3).
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda cri98 » 17/01/2020, 11:50

ciao pilloeffe,
sono d'accordo con te che n deve partire da 1 (penso sia un trabocchetto).
però se consideriamo il caso in cui n=0, non posso considerare la serie armonica, in questo caso come dovrei procedere(posso affermare che in x=3 non si ha convergenza
) ed otterrei quindi un'intervallo di convergenza [-3,3)?
grazie!

ad esempio ho un altro esercizio simile:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2(x/4)^n$
1)$[-4,4] $
2)$[0,4]$
3)$[-4,4)$
4)$(-4,4)$

utilizzo il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo)1/(n+1)^2*1/4^(n+1)=1/4 $
$l=1/4$ quindi$ R=4$
devo considerare l'intervallo $(-4,4)$, vado a verificare se agli estremi converge:
per$ x=-4$ si ottiene:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2(-4/4)^n=sum_(n=0)^(oo)(-1)^n1/n^2$
utilizzando il criterio di Leibniz
$ lim_(n -> oo) 1/n^2=0 $ per definizione converge
poi considero $x=4$
ed ottengo:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2$
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda pilloeffe » 17/01/2020, 15:46

cri98 ha scritto:sono d'accordo con te che n deve partire da 1 (penso sia un trabocchetto).

??? L'unico "trabocchetto" che può esserci è quello di far sì che gli studenti capiscano autonomamente da quale valore deve partire $n$... :wink:
cri98 ha scritto:però se consideriamo il caso in cui n=0, non posso considerare la serie armonica, in questo caso come dovrei procedere(posso affermare che in x=3 non si ha convergenza
) ed otterrei quindi un'intervallo di convergenza [-3,3)?

:shock: :shock: Eh?
cri98 ha scritto:ad esempio ho un altro esercizio simile:

Mephlip ha scritto:Non capisco perché approcci così gli esercizi [...]

Concordo con Mephlip, hai un approccio completamente errato: magari fai meno esercizi, ma falli bene.
Quest'altra serie che hai proposto poi è identica a quello dell'OP, a parte un $4$ al posto di un $3$, quindi ovviamente la risposta corretta sarà la 1) (e anche quest'ultima serie proposta non può partire da $n = 0 $, quindi partirà da $n = 1 $).
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda cri98 » 17/01/2020, 16:26

ciao ragazzi,
anzitutto grazie per il vostro aiuto.
riguardo all'approccio degli esercizi, sto seguendo questa canale:
https://www.youtube.com/watch?v=ZwahIVqi0Mg
riguardo al risultato [-4,4]sono d'accordo
ho considerato:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2 $
$ lim_(n -> oo) 1/n^2=0 $
quindi converge.

Grazie
cri98
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Re: esercizio serie di potenze

Messaggioda pilloeffe » 17/01/2020, 19:07

cri98 ha scritto:anzitutto grazie per il vostro aiuto.

Prego.
cri98 ha scritto:riguardo all'approccio degli esercizi, sto seguendo questo canale:
https://www.youtube.com/watch?v=ZwahIVqi0Mg

Mi sentirei di consigliarti un approccio un po' più tradizionale (un bel libro di Analisi Matematica... :wink: ), che magari puoi sì "integrare" con materiale su Internet, questo forum ed eventuali canali tematici: sconsiglierei invece un approccio quasi esclusivamente in Rete, poi naturalmente fai come vuoi... :wink:
Comunque vorrei farti notare che nel canale tematico che hai segnalato nessuna serie proposta parte da $n = 0 $: partono tutte da $k = 1 $.
cri98 ha scritto:ho considerato:
$\sum_{n = 0}^{\infty} 1/n^2 $

E dalle... Parte da $n = 1 $, non da $n = 0 $: $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 $
Quest'ultima è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 > 1 $ e pertanto è convergente. Se ne conosce anche la somma:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
cri98 ha scritto:$\lim_{n \to \infty} 1/n^2 = 0 $
quindi converge.

Questo significa solo che la serie può convergere, dato che è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to \infty} a_n = 0 $, ma non è detto che lo faccia: anche $\lim_{n \to \infty} 1/n = 0 $, ma la serie $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $ è la serie armonica, notoriamente divergente.

Per concludere ti propongo come esercizio un paio di generalizzazioni, cioè lo studio delle due serie seguenti:

1) $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 (x/a)^n $

con $a > 0 $. Ti faccio incidentalmente notare che se $a = 3 $ si ottiene la serie che hai proposto nell'OP, se $a = 4 $ si ottiene l'ultima serie che hai proposto.

2) $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^b (x/a)^n $

con $a > 0 $ e $b > 0 $. Naturalmente se $a = 3 $ e $b = 2 $ si ottiene la serie che hai proposto nell'OP, se $a = 4 $ e $b = 2 $ si ottiene l'ultima serie che hai proposto.
pilloeffe
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