Ciao. Se ho un gruppo ciclico \( C \) di ordine \( 8 \) è \( x^8 = x^m \), dove \( m = k8 \), per qualche \( k\in\mathbb Z \). Questa relazione si può scrivere come \( (x^8)(x^k8)^{-1} = 1 \), come ogni relazione tra gli elementi di un gruppo. Detto ciò, vorrei far vedere che relazioni come quella lì sopra, cioè del tipo \( u = v \), hanno senso in un gruppo \( G \) (ossia, vale in \( G \) l'identità \( uv^{-1} = 1 \) e, soprattutto, non si contraddicono tra loro - \( aa^{-1}b = ab \) non ha senso con \( b\neq a \): contraddice il fatto che \( aa^{-1} = 1 \)), se e solo se le parole \( uv^{-1} \) nel gruppo libero \( F_G \) su \( G \) formano un sottogruppo normale.
È vero? Sia \( G \) un gruppo. Sia \( \phi \) l'omomorfismo \( F_G\to G \) che risulta dalla proprietà universale di \( F_G \). Le parole che danno \( 1 \) una volta valutate in \( G \) sono esattamente \( \operatorname{Ker}\phi \) (per le proprietà di \( \phi \), appunto). Ma, dato \( N\trianglelefteq F_G \), dire che i prodotti delle lettere delle parole di \( N \) danno il neutro non è equivalente a dire che \( \operatorname{Ker}\phi \) è il più grande sottogruppo normale di \( F_G \)? Non è vero, però non mi viene un controesempio.
Se considero ad esempio \( \mathbb Z_8 \), è vero che un sottogruppo normale \( N \) di \( F_{\mathbb Z_8} \) è un "insieme di relazioni" di \( \mathbb Z_8 \)? Boh... (E come è fatto un sottogruppo normale di \( F_{\mathbb Z_8} \) allora?)