Formula di Hermite

[RP-1]

Buonasera a tutti,

il mio docente di Analisi I richiede di saper calcolare l'integrale di una funzione fratta utilizzando la formula di Hermite. Purtroppo non ho capito assolutamente nulla né del teorema né della sua applicazione pratica e il materiale che trovo sul web mi confonde ancor di più le idee.
Vi sarei infinitamente grato se mi spiegaste in parole povere come procedere, sono veramente disperato .

Di seguito lascio un esercizio tipo:
$"Calcolare il seguente integrale: "

\int1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) dx$

Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao RP-1,

Basta che cerchi la parola chiave "Hermite" anche solo su questo stesso forum: è una questione che è stata posta diverse volte, anche recentemente.

il mio docente di Analisi I richiede di saper calcolare l'integrale di una funzione fratta utilizzando la formula di Hermite.

Il primo passo è trasformare l'integrale proposto in quello di una funzione fratta, cosa che puoi fare ponendo $t := \sqrt{x + 1} $

[gugo82]

Vedi anche il par. 1 di questi fogli.

[RP-1]

Ciao RP-1,

Basta che cerchi la parola chiave "Hermite" anche solo su questo stesso forum: è una questione che è stata posta diverse volte, anche recentemente.

il mio docente di Analisi I richiede di saper calcolare l'integrale di una funzione fratta utilizzando la formula di Hermite.

Il primo passo è trasformare l'integrale proposto in quello di una funzione fratta, cosa che puoi fare ponendo $t := \sqrt{x + 1} $

Ciao!
Ho letto il post da te linkato ed operato la sostituzione che mi hai proposto ottenendo la seguente funzione:
$1/((t^4-2t^2+1)(t+1)$.
In tale funzione, però, non è verificata la condizione $Delta_j = beta_j^2 - 4 gamma_j < 0$.
Come mi comporto?

[pilloeffe]

Con la sostituzione $t := \sqrt{x + 1} $ che ti ho proposto dovrebbe risultarti quanto segue:

$ \int 1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) \text{d}x = 2\int \frac{t}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t = 2 \int \frac{(t + 1) - 1}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t = $
$ = 2[\int \frac{1}{(t^2 - 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t] = 2[\int \frac{1}{(t - 1)^2 (t + 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)^3(t - 1)^2}\text{d}t]$

[RP-1]

Non mi è chiaro da dove arrivi la $t$ al numeratore. Il termine $d/dt((P^1(t))/(Q^1(t)))$ non dovrebbe valere $(\alpha_0+\alpha_1t)/(t^2-1)$?

[pilloeffe]

Non mi è chiaro da dove arrivi la $t $ al numeratore.

Posto $t := sqrt{x + 1} \implies t^2 = x + 1 \implies x = t^2 - 1 \implies \text{d}x = 2 t \text{d}t $, quindi si ha:

$ \int 1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) \text{d}x = \int 1/((t^2 - 1)^2 (t + 1)) 2t \text{d}t = 2 \int t/((t + 1)(t^2 - 1)^2 ) \text{d}t $

[RP-1]

Innanzitutto scusa per l'errore imperdonabile, in questo caso più che applicare la formula di Hermite si sta operando una normale semplificazione, o sbaglio? Che differenza c'è?

[pilloeffe]

Finora non è stata ancora applicata alcuna formula di Hermite, ma semplicemente scritto $\text{d}x $ in termini di $ \text{d}t $. Poi è stato aggiunto e sottratto $1 $ al numeratore dell'integrale in modo da riuscire a semplificare il $(t + 1)$ al numertore col $(t + 1) $ al denominatore.

[RP-1]

Sto facendo molta confusione, ma non mi è chiaro perché operare tale semplificazione

$2\int \frac{t}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t -> 2[\int \frac{1}{(t - 1)^2 (t + 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)^3(t - 1)^2}\text{d}t]$

anziché considerare semplicemente $2\int \frac{t}{(t + 1)^3(t-1)^2}\text{d}t$.


In tal caso si avrebbe:

$\intA_1/(t+1)+A_2/(t-1)+d/dt((\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2)/((t+1)^2(t-1)))$, o sbaglio?

Non capisco il contributo che da il numeratore. Nel post da te linkato la semplificazione è definita in tal modo:

$f(x) = A_1/(x - alpha_1) + \cdots + A_m/(x - alpha_m) + (B_1x + C_1)/(x^2 + beta_1 x + gamma_1) +\cdots + (B_n x + C_n)/(x^2 + beta_n x + gamma_n) + (text(d))/(text(d) x)[(a_0+a_1x+\cdots + a_(q^** - 1) x^(q^** - 1))/(Q^**(x))]$

e non mi sembra venga considerato il polinomio al numeratore nella funzione di partenza. Dunque non capisco il motivo dell'unità al numeratore. Dove mi perdo?