Limite in due variabili

Messaggioda mauri54 » 16/01/2020, 19:44

Ciao a tutti,
Vi scrivo perché non riesco a capire come risolvere questo limite:
\( \displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow \infty} \frac{\sin(y\sqrt[3]{x})}{xy} \)

Il dominio \( D=\mathbb{R}\setminus\{(x,y):xy=0\} \) e sulla restrizione \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x,x)=0 \), quindi, se il limite in due variabili esiste, vale 0.
Il problema è che non riesco ne a maggiorare il modulo della funzione e farlo andare a 0, ne riesco a trovare una restrizione su cui il limite non sia nullo. Deve essere una cavolata che non mi sta venendo in mente.
In coordinate polari mi sembra la stessa zuppa delle coordinate cartesiane. Qualche idea?
Vi ringrazio
mauri54
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Re: Limite in due variabili

Messaggioda ValeForce » 16/01/2020, 19:57

Ciao! Che maggiorazioni hai provato? Che ne dici di questa?
$$|\sin(x)| \le 1 \quad \forall x \in {\rm I\!R}$$
"Se dovessi andare in Paradiso una delle cose che porterei con me è il teorema di esistenza degli zeri. L'altra un fumetto di Topolino." -Cit.
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Re: Limite in due variabili

Messaggioda mauri54 » 16/01/2020, 22:06

ValeForce ha scritto:Ciao! Che maggiorazioni hai provato? Che ne dici di questa?
$$|\sin(x)| \le 1 \quad \forall x \in {\rm I\!R}$$

Si certo ma \( \frac{1}{|xy|} \) non ha limite all'infinito.
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Re: Limite in due variabili

Messaggioda Mephlip » 17/01/2020, 19:55

Prova lungo la curva $(\frac{1}{t^3},t)$.
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Re: Limite in due variabili

Messaggioda mauri54 » 18/01/2020, 00:35

Mephlip ha scritto:Prova lungo la curva $(\frac{1}{t^3},t)$.

Grazie! La funzione su quella curva va a +$\infty$ perché \( \displaystyle\lim_{y\rightarrow +\infty} \frac{sin(y\sqrt[3]{\frac{1}{y^3}})}{y \frac{1}{y^3}}=\lim_{y\rightarrow +\infty} \frac{sin(1)}{ \frac{1}{y^2}}=+\infty \)
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