Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda 7benedetta » 15/01/2020, 18:45

Salve a tutti!
Non riesco a risolvere il seguente sistema di equazioni lineari con parametro $\lambda$. Gentilmente, potreste darmi una mano?
$\{((\lambda+1)X+Y+Z-T=0), ((2-\lambda)X+(2+\lambda)Y+2Z-(\lambda+1)T=\lambda), (-X-Y-(\lambda+1)^(2)Z+T=1-\lambda):}$
Grazie in anticipo per l'aiuto!
7benedetta
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda gugo82 » 16/01/2020, 01:08

Perché non riesci?
Come hai impostato l'esercizio?
Che calcoli hai fatto?
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda 7benedetta » 17/01/2020, 09:31

:cry: Non so proprio da dove partire
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda gugo82 » 18/01/2020, 01:13

Devi risolvere un sistema lineare.
Come fai?
Ci sono vari metodi pensati per questo: quale preferisci usare?
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda 7benedetta » 18/01/2020, 09:25

Allora so che dovrei utilizzare dapprima il metodo dei minori orlati per determinare il rango e vedere se un sistema è compatibile con Rouchè-Capelli, ma il problema è che mi perdo proprio nel dover fare tutte queste cose soprattutto a causa della presenza del parametro
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda Sergio » 18/01/2020, 15:04

Direi che è molto più semplice (anche se altrettanto noioso...) ridurre a gradini.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda 7benedetta » 18/01/2020, 15:22

Il problema è che nel mio caso non posso utilizzare la riduzione a gradini perché nella traccia mi dice di usare i metodi sopra citati da me
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda Sergio » 18/01/2020, 16:23

7benedetta ha scritto:Salve a tutti!
Non riesco a risolvere il seguente sistema di equazioni lineari con parametro $\lambda$. Gentilmente, potreste darmi una mano?
$\{((\lambda+1)X+Y+Z-T=0), ((2-\lambda)X+(2+\lambda)Y+2Z-(\lambda+1)T=\lambda), (-X-Y-(\lambda+1)^(2)Z+T=1-\lambda):}$
Grazie in anticipo per l'aiuto!

Be', allora c'è solo da lavorare :) La matrice del sistema è:
\[\left[\begin{array}{cccc|c} \lambda+1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 2-\lambda & 2+\lambda & 2 & -(\lambda+1) & \lambda \\ -1 & -1 & -(\lambda+1)^2 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right]\]
La procedura più semplice mi sembra:
a) scegli tre colonne "facili" della matrice orlata (altrimenti detta "completa") includendo anche la quinta, ad es. seconda quarta e quinta, ne calcoli il determinante e vedi se esistono valori di $\lambda$ per i quali non si annulla; facile, e la risposta è sì;
b) scegli ora tre colonne della matrice dei coefficienti (altrimenti detta "incompleta") e vedi per quali valori di $\lambda$ il determinante non si annulla; i valori di $\lambda$ per il quali non si annullano né questo determinante né il precedente sono i valori per i quali il sistema è compatibile.
Coraggio, in fondo ci vuole solo un po' di pazienza...
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda 7benedetta » 18/01/2020, 16:49

Quindi calcolo il determinante della matrice costituita dalle 3 colonne della matrice completa poi quello della matrice incompleta e quindi vedo per quali valori di lambda entrambi i determinanti sono nulli. Quindi il determinante diverso da zero implica che il rango di tutte e due le matrici è tre che è quindi rango massimo. Quindi cosa si fa adesso?si calcolano le soluzioni con Cramer?e devo calcolarle sempre al variare del parametro?
Inoltre so che dopo aver fatto tutto questo, devo sostituire nel sistema i valori di lambda che ho calcolato prima per i quali i determinanti si annullavano...dunque devo rifare lo stesso ragionamento che lei ha fatto, cioè considero la matrice che ha le tre colonne della matrice orlata e poi l'altra matrice con colonne della matrice incompleta?oppure si usa un altro metodo? Facendo questo procedimento, sto usando il principio dei minori orlati?
Perdonatemi questo papiro che ho scritto...è che ho molitissimi dubbi e conoscenze piuttosto scarse...
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Re: Sistema di equazioni lineari 3x4

Messaggioda Sergio » 18/01/2020, 17:26

7benedetta ha scritto:Quindi calcolo il determinante della matrice costituita dalle 3 colonne della matrice completa poi quello della matrice incompleta e quindi vedo per quali valori di lambda entrambi i determinanti sono nulli. Quindi il determinante diverso da zero implica che il rango di tutte e due le matrici è tre che è quindi rango massimo. Quindi cosa si fa adesso?

Il teorema degli orlati ti dice che una matrice di 3 righe e 4 o 5 colonne ha rango 3 se trovi un minore di ordine 3 non nullo.
Il teorema di Rouché-Capelli ti dice che il sistema è compatibile e si tratta solo di... risolverlo.

7benedetta ha scritto:si calcolano le soluzioni con Cramer?

La regola di Cramer si applica solo quando la matrice dei coefficienti è quadrata (e invertibile). Non è questo il caso.

7benedetta ha scritto:e devo calcolarle sempre al variare del parametro?

Poco male. Dato che hai 4 incognite e solo 3 equazioni devi comunque trovare una soluzione con parametri.

7benedetta ha scritto:Perdonatemi questo papiro che ho scritto...è che ho molitissimi dubbi e conoscenze piuttosto scarse...

Con conoscenze piuttosto scarse si va poco lontano. Sarebbe meglio rivedere per bene la teoria, o no?
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