1) Sia \( n= p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k} \) e \( \sigma(n) \) la somma di tutti i divisori naturali di \(n \). Dimostra che \( \sigma(n) = \prod_{i=0}^{k} \frac{p_i^{\alpha_i +1} -1}{p_i -1} \)
2) Trova \( \sum_{d \mid n} \mu(d)\sigma(d) \), dove \( \mu \) è la funzione di Mobius.
Il 1) l'ho fatto ma per il punto 2) non sono sicuro, vi sembra corretto:
so che se \(n=1 \) allora \( \mu(1)=1 \) e \( \sigma(1)=1 \) pertanto ponendo
\[ f(n):=\sum_{d \mid n} \mu(d)\sigma(d) \]
Abbiamo \( f(1) =1\).
Ora se \(n >1 \) sia \( n= p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k} \) abbiamo che \( d \mid n \) se \( d = p_{i_1}^{\alpha_{i_1}} \ldots p_{i_r}^{\alpha_{i_r}} \) per qualche \( 1 \leq i_1,\ldots,i_r \leq k \)
ora se esiste \( \alpha_{i_j}>1 \) allora \( \mu(d)=0 \).
Pertanto dovremmo avere che \( d \in D:= \{ d \mid n : d =p_{i_1} \ldots p_{i_r}, 1 \leq i_1,\ldots,i_r \leq k \} \)
e per il punto 1) implica che \( \sigma(d) = 1 \) se \( d \in D \).
Dunque
\[ f(n) = \sum_{d \in D} \mu(d)\sigma(d) = 1 - \binom{k}{1} + \binom{k}{2} - \binom{k}{3} + \ldots= (1-1)^k=0 \]