Integrale Sen^2x

Messaggioda enni » 17/01/2020, 17:26

Salve a tutti.
Sono alle prese con questo integrale..ho provato a risolverlo tramite la sostituzione di \( t=tan(\frac{x}{2}) \). Suppongo sia la strada sbagliata visto il risultato che viene. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{4} } \frac{1}{1+2sen^2x}\, dx \)

Il risultato dovrebbe essere \( \frac{\pi}{\sqrt{3^3}} \)
enni
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Re: Integrale Sen^2x

Messaggioda Settevoltesette » 17/01/2020, 17:43

Appena ho letto quella funzione ho pensato a questo $sin(x/2) = +-sqrt((1 - cos(x))/2)$ penso ti possa aiutare, non provo a risolverlo perché sono anni che non faccio più un integrale e dovrei rimettermi sotto
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Re: Integrale Sen^2x

Messaggioda Mephlip » 17/01/2020, 20:25

Moltiplica sopra e sotto per $\frac{1}{\cos^2x}$, ricorda che $\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$; usa poi la relazione $\sec^2x - \tan^2x=1$ per esprimere il denominatore in funzione della tangente e sostituisci $\tanx=y$.
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Re: Integrale Sen^2x

Messaggioda pilloeffe » 18/01/2020, 04:34

Ciao enni,

Considerando l'identità trigonometrica fondamentale $sin^2 x + cos^2 x = 1 $ scriverei:

$ \int_0^{\pi/4} 1/(1+2sin^2x)\text{d}x = \int_0^{\pi/4} (sin^2 x + cos^2 x)/(sin^2 x + cos^2 x+2sin^2x)\text{d}x = \int_0^{\pi/4} (sin^2 x + cos^2 x)/(cos^2 x+3sin^2x)\text{d}x $

Quest'ultimo integrale è un caso particolare del relativo indefinito seguente:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = \int (sin^2 x + cos^2 x)/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x $

ove consideriamo $a > 0 $ e $b > 0 $. Quindi si ha:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = \int (sin^2 x + cos^2 x)/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int (tan^2 x + 1)/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}x $

Ricordando che $ \text{d}(tan x) = (tan^2 x+ 1)\text{d}x $ si ha:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int (tan^2 x + 1)/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}(tan x) $

A questo punto viene naturale la posizione $y := tan x $ che ti ha già suggerito Mephlip sicché risulta:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}(tan x) = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 y^2)\text{d}y $

Ponendo ancora $t := b/a y \implies \text{d}t = b/a \text{d}y \implies \text{d}y = a/b \text{d}t $ si ha:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 y^2)\text{d}y = 1/(ab) \int 1/(1+t^2)\text{d}t = 1/(ab) arctan(t) + c = $
$ = 1/(ab) arctan(b/a y) + c = 1/(ab) arctan(b/a tan x) + c $

Nel caso dell'integrale proposto $a = 1 $ e $b = \sqrt{3} $, per cui si ha:

$ \int 1/(1+2sin^2x)\text{d}x = \int 1/(cos^2 x+3sin^2x)\text{d}x = 1/sqrt{3} arctan(\sqrt{3} tan x) + c $

Ti lascio i conti dell'integrale definito proposto che dovrebbero condurti al risultato che hai citato nell'OP.
pilloeffe
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Re: Integrale Sen^2x

Messaggioda enni » 18/01/2020, 15:24

pilloeffe ha scritto:Ciao enni,

Considerando l'identità trigonometrica fondamentale $sin^2 x + cos^2 x = 1 $ scriverei:

$ \int_0^{\pi/4} 1/(1+2sin^2x)\text{d}x = \int_0^{\pi/4} (sin^2 x + cos^2 x)/(sin^2 x + cos^2 x+2sin^2x)\text{d}x = \int_0^{\pi/4} (sin^2 x + cos^2 x)/(cos^2 x+3sin^2x)\text{d}x $

Quest'ultimo integrale è un caso particolare del relativo indefinito seguente:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = \int (sin^2 x + cos^2 x)/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x $

ove consideriamo $a > 0 $ e $b > 0 $. Quindi si ha:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = \int (sin^2 x + cos^2 x)/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int (tan^2 x + 1)/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}x $

Ricordando che $ \text{d}(tan x) = (tan^2 x+ 1)\text{d}x $ si ha:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int (tan^2 x + 1)/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}(tan x) $

A questo punto viene naturale la posizione $y := tan x $ che ti ha già suggerito Mephlip sicché risulta:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 tan^2x)\text{d}(tan x) = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 y^2)\text{d}y $

Ponendo ancora $t := b/a y \implies \text{d}t = b/a \text{d}y \implies \text{d}y = a/b \text{d}t $ si ha:

$\int 1/(a^2 cos^2 x+b^2sin^2x)\text{d}x = 1/a^2 \int 1/(1+b^2/a^2 y^2)\text{d}y = 1/(ab) \int 1/(1+t^2)\text{d}t = 1/(ab) arctan(t) + c = $
$ = 1/(ab) arctan(b/a y) + c = 1/(ab) arctan(b/a tan x) + c $

Nel caso dell'integrale proposto $a = 1 $ e $b = \sqrt{3} $, per cui si ha:

$ \int 1/(1+2sin^2x)\text{d}x = \int 1/(cos^2 x+3sin^2x)\text{d}x = 1/sqrt{3} arctan(\sqrt{3} tan x) + c $

Ti lascio i conti dell'integrale definito proposto che dovrebbero condurti al risultato che hai citato nell'OP.


Ciao pilloeffe, grazie per la spiegazione chiarissima! Non avevo ancora risolto un integrale del genere e probabilmente da sola avrei risolto poco! Thankyou! :D
enni
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