campo magnetico condensatore

[FabioA_97]

ho un dubbio riguardo il verso del campo magnetico in questo problema.

Si consideri un condensatore piano con armature circolari (di superficie S, poste a distanza h), caricato alla ddp Vo. Il condensatore viene lasciato scaricare attraverso una resistenza Ro. Supponendo di essere in condizioni lentamente variabili, si determini:
b) il vettore di Poynting P (modulo, direzione e verso);
c) il flusso totale di energia che attraversa la superficie che idealmente limita il condensatore durante la
sua scarica.

io l'ho risolto in questo modo:


$ absP=(ExxB)/mu_0 $

devo trovare campo elettrico e magnetico.

campo elettrico:

$ (partial U)/(partial t) =(partial)/(partial t) (1/2(Q^2(t))/C)i^2R=0 $

$ 1/2Q/C(partialQ)/(partial t)+1/2Q/C(partialQ)/(partial t)+((partialQ)/(partial t))^2R=0 $

e risolvendo l'equazione differenziale ottengo

$ Q(t)=Q_0e^((-t)/(RC) $

dove $ Q_0=CV_0 $ e $ C=epsilon_0S/h $

$ V(t)=V_0e^((-t)/(RC)) $

$ E=(V(t))/h=V_0/he^((-t)/(RC))hatu_z $

campo magnetico:

$ oint_(gamma) B\cdot hatu_Tdl=mu_0(I_C+I_S)=mu_0epsilon_0(partialE(t))/(partial t) $ perché nel condensatore le correnti di conduzione sono nulle.

$ 2piaB=mu_0epsilon_0(partial E(t))/(partial t) =-(mu_0epsilon_0)/(RC)SV_0/he^((-t)/(RC)) $ dove $ a $ è il raggio delle armature del condensatore.

$ B=-(mu_0epsilon_0)/(2piaRC)SV_0/he^((-t)/(RC))hatu_T $

ora calcolo il modulo del vettore di Poynting:

$ absP=-(mu_0epsilon_0V_0^2S)/(2piah^2RC)e^((-2t)/(RC))(hatu_zxx hatu_T)=-(mu_0epsilon_0V_0^2S)/(2piah^2RC)e^((-2t)/(RC))(-hatu_r)=
(mu_0epsilon_0V_0^2S)/(2piah^2RC)e^((-2t)/(RC))hatu_r $

con direzione radiale uscente. e uscente è giusto perché il condensatore è in scarico.

il mio problema è questo: il campo elettrico va dall'armatura carica positivamente a quella carica negativamente, stessa cosa la corrente di spostamento all'interno del condensatore perché si sta scaricando. una volta note direzione e verso della corrente di spostamento, tramite la regola del cavatappi, posso già conoscere direzione e verso del campo magnetico, solo che nei calcoli il campo magnetico esce col segno meno e quindi dovrei invertire il verso ma questo andrebbe contro la regola del cavatappi.
se invece decidessi di considerare il campo magnetico senza il meno troverei il vettore di poyinting radiale entrante che è sbagliato perché questo accade se il condensatore è in carica. qualcuno saprebbe spiegarmi qual è il giusto verso del campo magnetico?

allego disegno per far capire meglio

[RenzoDF]

La corrente di spostamento, che sostituisce quella di conduzione, internamente al condensatore, fluisce in senso inverso al campo, visto che il condensatore si sta scaricando attraverso il resistore esterno, verso confermato anche dalla derivata negativa del campo elettrico, che sta diminuendo.
Non capisco perché vai (in modo errato) ad indicare il modulo del vettore di Poynting che, essendo funzione del prodotto vettoriale fra $\vec E$ e $\vec B$, risulterà anch’esso un vettore, con un verso automaticamente corretto.

BTW Non capisco poi il metodo che hai usato per il campo elettrico, che poteva semplicemente e direttamente essere scritto come rapporto fra tensione e distanza fra le armature, così come per la corrente di spostamento bastava usare la legge di Ohm (in quanto pari a quella di conduzione esterna), e da questa il campo B.
Simbolicamente, dalla discesa esponenziale della tensione, associata alla scarica di un condensatore (che direi non deve essere necessariamente dimostrata ogni volta che viene usata),

$V(t)=V_0e^((-t)/(RC)) \quad \Rightarrow \quad E(t)=\frac{V(t)}{h}=\frac{V_0}{h}e^{-t/(RC)}$

$I_s(t)=I_c(t)=\frac{V(t)}{R}$

$B(t)=\frac{\mu_0I_s(t)}{2\pi a}=\frac{\mu_0V_0}{2\pi a h R}e^{-t/(RC)}$

BTW2 Nei tuoi calcoli vedo misteriosamente apparire una $S$, che non ci va, e nel disegno hai sbagliato ad indicare sia il verso di $\vec B$ (visto il segno meno della sua relazione), sia quello della corrente di spostamento (visto quanto sopra detto).

[FabioA_97]

Ah ok quindi il mio errore per il campo elettrico è derivato dal fatto di aver orientato in modo errato la corrente di spostamento. Riusciresti per piacere a spiegarmi perché in un condensatore in scaricamento essa è opposta al campo elettrico mentre in un condensatore in caricamento hanno lo stesso verso?

[RenzoDF]

Semplicemente perchè un condensatore ideale (come quello sottinteso dal tuo problema) si può scaricare (e, ovviamente, caricare) solo attraverso un circuito esterno, in quanto le cariche non possono attraversare lo spazio isolante interno; solo un condensatore reale, ovvero con dielettrico a conducibilità non nulla, può scaricarsi anche attraverso il percorso resistivo interno, più o meno rapidamente a seconda dell'isolante; in quest'ultimo caso avremo sia corrente di conduzione sia di spostamento, internamente al condensatore, che però normalmente vengono separate considerando un circuito equivalente del condensatore reale costituito dal parallelo di un condensatore ideale e di un resistore, andando a ricondurre la scarica al suo esterno.

Prova comunque a considerare contemporaneamente corrente di conduzione (scarica) e di spostamento che fluiscono nello spazio interno e vedi un po' cosa succede a Poynting.