Convergenza in $L_{loc}^1$ e q.o.

[Reyzet]

Ciao, vorrei chiedere una cosa che ho trovato studiando le distribuzioni
e non riesco a capire se sia vera o falsa.

Supponiamo che $f_{n}$ converga a f in $L_{loc}^1(\mathbb{R})$ (spazio delle funzioni localmente integrabili), nel senso che $f_{n}$ converge a f in $L^1([[a,b]])$ per ogni intervallo.
Vorrei capire il legame che c'è tra questa convergenza e quella q.o.
Non riesco a trovare nulla sul web, per questo spazio, ma solo su $L^1$ (e mi pare di aver letto che la L^1 non implica la q.o., ma esiste comunque una sottosuccessione convergente q.o.).
Intuitivamente mi sembra comunque vero, specie per funzioni continue, ma non riesco a provarlo.
Qualcuno sa se sia vero?

[otta96]

Sai che una una successione di funzioni convergenti in $L^1(X)$ ha una successione q.o. convergente.
Allora $f_n$ ha una sottosuccessione $f_(1,n)$ convergente q.o. in $L^1(-1,1)$, che a sua volta ha una sottosuccessione $f_(2,n)$ convergente q.o. in $L^1(-2,2)$. Continuando così ottieni $AAk\inNN$ una sottosuccessione $f_(k,n)$ di $f_(k-1,n)$ convergente q.o. in $L^1(-k,k)$.
Allora $f_(n,n)$ è una sottosuccessione di $f_n$ che converge q.o. in $RR$.

[Reyzet]

Ecco, questo è interessante, grazie.
Quindi questo è l'unico legame tra le due convergenze?

Inoltre, il problema è che negli appunti mi trovo scritto che " $f_{n}(x)=sin(nx)$ non converge q.o. (converge a 0 solo per opportuni x) e quindi non converge in $L_{loc}^1$ (mentre $T_{f_{n}}$ converge in $D'(\mathbb{R})$)"
Forse è perché se convergesse qui dentro dovrebbe esserci come hai detto un'estratta $f_{n_{k}}$ convergente q.o., ma questa estratta non può esistere (essendo che appunto $sin(n_{k}x)$ converge solo per multipli di $\pi$)?

[dissonance]

Ragionare in astratto ti farà venire molti mal di testa. Meglio pensare sugli esempi concreti. In questo caso, l'esempio da considerare è la "successione macchina da scrivere":
https://terrytao.wordpress.com/2010/10/ ... nvergence/

(Example 4).

[Reyzet]

Ragionare in astratto ti farà venire molti mal di testa.

Oh beh questo è verissimo

Comunque la typewriter risolve il problema, ma il mio dubbio comunque resta sulla successione che ho scritto prima, riguardando meglio non credo si possa concludere come ho fatto..

[dissonance]

Ti riferisci a \(\sin(nx)\)? Perché non andrebbe bene? Va bene, tranquillo.

[Reyzet]

Ah ottimo, grazie mille dell'aiuto.
Più che altro non ero sicuro di questo fatto:"le estratte $sin(n_{k}x)$ non sono convergenti q.o. perché il seno converge solo per alcuni x", perché vedendo su MSE trovavo dimostrazioni assurde della cosa.

[dissonance]

Non è facilissimo infatti. Essenzialmente si tratta di dimostrare che \(\sin n\) non ha estratte convergenti. Non è affatto ovvio.

[otta96]

Scusa ma, ce l'ha (puoi scegliere come limite qualsiasi elemento di $[-1,1]$) .

[dissonance]

Già, è vero. In effetti adesso che ci penso meglio la cosa è più delicata. Che \(\sin(nx)\) non ha estratte convergenti puntualmente sarà anche vero, immagino, ma dimostrarlo è un casino, non ne vale la pena. Qui noi vogliamo solo dimostrare che \(\lVert \sin(n\ \cdot)\rVert_{L^1(a, b)}\) NON tende a zero. Ma questo è più facile (assumo \(a=0\) per semplificare un po', ma non è necessario):
\[\begin{split}
\int_0^b \lvert \sin(nx)\rvert\, dx & = \frac{1}{n}\int_0^{nb} \lvert \sin y\rvert\, dy \\
&=\frac1n\left[ \left(\int_0^\pi+\int_{\pi}^{2\pi}+\ldots+\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\right) \lvert \sin y\rvert\, dy +\int_{k\pi}^{nb} \lvert \sin y\rvert\, dy\right]\\
&\ge \frac{[nb/\pi]}{n}\int_0^\pi \sin y\, dy \ge 2\frac{\frac{nb}{\pi}-1}{n},
\end{split}\]
e il membro destro NON tende a 0 per \(n\to \infty\) (infatti, tende a \(2b/\pi\)). Spiegazione della formula grande: l'integrale si può dividere in \(k\) integrali di lunghezza \(\pi\), più un pezzettino positivo, che scartiamo. Ognuno di quei \(k\) integrali vale \(\int_0^\pi \sin y\, dy=2\), e \(k\) è uguale a \([nb/\pi]\). Siccome, per ogni numero reale \(\alpha\), vale \([\alpha]\ge \alpha-1\), ponendo \(\alpha=nb/\pi\) otteniamo la disuguaglianza finale.