dunque Dino, il post che hai inserito è del tutto decontestualizzato e quindi risulta difficile inquadrare bene il problema.
Ti viene chiesto il calcolo e l'interpretazione di $mathbb{E}[Y-hat(Y)]^2$
Questa quantità rappresenta, sotto l'ipotesi che la stima $hat(f)$ della funzione ignota $f$ sia una stima non distorta, una stima dell'errore che si commette sostituendo $hat(f)$ a $f$.
Dino 92 ha scritto:$E(f-\hatf)$ rappresenta la componente di errore riducibile (eventualmente sino a $0$).
L'errore va sempre considerato al quadrato, e ciò per evitare che errori positivi vadano a compensare errori negativi (una volta sbaglio di $+1$ una volta sbaglio di $-1$, mediamente ho sbagliato di $0$ mentre nella realtà ho sbagliato 2 volte su due....)
Sotto le consuete ipotesi che stiamo utilizzando una stima non distorta
1 è evidente che $mathbb{E}[f-hat(f)]=f-mathbb{E}[hat(f)]=f-f=0$
Se invece la stima fosse distorta allora l'errore stimato verrebbe calcolato con $mathbb{V}[Y-hat(Y)]^2$.
Ciò che ti posso consigliare è inizialmente di sostituire la generica $f(X)$ con una funzione lineare e studiare la Statistica predittiva sulla base di modelli lineari (meglio se multivariati) per i quali trovi una letteratura infinita. Una volta chiaritoti per bene tutte le proprietà e le relazioni note sul modello lineare puoi passare ad uno studio predittivo di carattere più generale, fino anche all'impostazione predittiva Bayesiana (sono di parte ma è l'argomento che mi interessa di più)
Prendi ciò che ti ho detto con le pinze dato che, come ho detto all'inizio, non so bene che genere di argomento tu stia studiando ed a che livello.
saluti