Integrale improprio con parametro

Messaggioda imFrancesco » 18/01/2020, 18:16

Ciao ragazzi, ho un problema con questo esercizio. Mi chiede di calcolare per quali valori di $ alpha $ l'integrale improprio converge e calcolarlo per $ alpha $=0.

$ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $

Per prima cosa io mi sono risolto l'integrale(ponendo, appunto $ alpha $=0) in questo modo:

Ho posto $ t=e^x =>dt=e^xdx $

$ int_(1)^(oo) 1/(t^2+6t+10)dt => int_(1)^(oo) 1/((t+3)^2+1)dt => pi/2-arctg(4) $

(è corretto?)

Successivamente ho cercato di capire i valori di alpha che mi fanno convergere l'integrale, ma ho qualche problema.

Per $ x ->0^+ $ $ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $ $ ~ 1/(x^alpha*17 )~ 1/x^alpha $ Che mi converge per $ alpha <1 $


Per $ x ->oo $ Non so bene come comportarmi...
Qualcuno sa aiutarmi? Vi ringrazio come sempre!
imFrancesco
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 15 di 34
Iscritto il: 23/12/2019, 16:32

Re: Integrale improprio con parametro

Messaggioda Mephlip » 18/01/2020, 19:32

L'integrale è quasi corretto, devi cambiare gli estremi di integrazione quando sostituisci; hai
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+6e^{x}+10} \text{d}x=\int_e^{+\infty} \frac{1}{t^2+6t+10} \text{d}t=\frac{\pi}{2}-\arctan(e+3)$$
Per quanto riguarda la convergenza: per $x\to0^+$ è corretto, per $x\to+\infty$ prova a raccogliere i termini dominanti all'infinito nelle parentesi.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 599 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Integrale improprio con parametro

Messaggioda imFrancesco » 18/01/2020, 19:42

Mephlip ha scritto:L'integrale è quasi corretto, devi cambiare gli estremi di integrazione quando sostituisci; hai
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+6e^{x}+10} \text{d}x=\int_e^{+\infty} \frac{1}{t^2+6t+10} \text{d}t=\frac{\pi}{2}-\arctan(e+3)$$
Per quanto riguarda la convergenza: per $x\to0^+$ è corretto, per $x\to+\infty$ prova a raccogliere i termini dominanti all'infinito nelle parentesi.


Ciao Mephlip, grazie per risposta.

Ma sei sicuro che l'estremo inferiore diventi $ e $ ? Credo che hai sbagliato a scrivere gli estremi di integrazione proprio nel testo(l'integrale va da $ 0 $ a $ oo $ . Ovviamente dimmi se sbaglio!

Per quanto riguarda $ x ->oo $ ho ragionato così ma non saprei continuare e soprattutto non so se sono i passaggi giusti.

$ int_(0)^(+oo) $ $ e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $


Per $ x ->oo $ $ [e^x/((e^(xalpha)*e^(2x)))~ 1/(e^x*e^(xalpha))~ 1/(e^(alpha x+x)]] $
imFrancesco
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 16 di 34
Iscritto il: 23/12/2019, 16:32

Re: Integrale improprio con parametro

Messaggioda Mephlip » 18/01/2020, 20:00

Prego!
Ho preso una svista io, ho letto l'estremo inferiore della seconda formula al posto di quello della prima; scusami! Quindi è corretto lo svolgimento del tuo primo messaggio :D
Va benissimo il ragionamento per $x\to+\infty$, quindi affinché l'integrale converga l'esponenziale deve rimanere al denominatore; quindi come concludiamo?
Ultima modifica di Mephlip il 18/01/2020, 20:25, modificato 1 volta in totale.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 600 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Integrale improprio con parametro

Messaggioda imFrancesco » 18/01/2020, 20:18

Mephlip ha scritto:Prego!
Ho preso una svista io, ho letto l'estremo inferiore della seconda formula al posto di quello della prima; scusami! Quindi è corretto lo svolgimento del tuo primo messaggio :D
Va benissimo il ragionamento per x→+∞, quindi affinché l'integrale converga l'esponenziale deve rimanere al denominatore; quindi come concludiamo?


Figurati! Nessun problema!

$ 1/(e^(alpha x+x))~ 1/e^(x(alpha+1) $ Che converge se $ alpha+1<1 $ ? Non saprei..
imFrancesco
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 17 di 34
Iscritto il: 23/12/2019, 16:32

Re: Integrale improprio con parametro

Messaggioda Mephlip » 18/01/2020, 20:21

In pratica il senso è che l'integrale improprio converge se l'esponenziale rimane al denominatore, ciò avviene se il segno dell'esponente rimane negativo (nel senso che è del tipo $e^{\text{roba negativa}}$).
Ciò viene dal seguente fatto generale: sia $\gamma\in\mathbb{R}\setminus\{0}$, si ha
$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{e^{\gamma x}} \text{d}x=\lim_{R\to+\infty} \int_1^R e^{-\gamma x} \text{d}x=\lim_{R \to +\infty} \left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma x}\right]_1^R =-\frac{1}{\gamma} \lim_{R\to+\infty} (e^{-\gamma R} - e^{-\gamma})$$
Quindi il destino del limite è legato all'esponente $-\gamma$ dell'esponenziale $e^{-\gamma R}$: se esso è positivo il limite è infinito, altrimenti se è negativo il limite è finito; pertanto per la convergenza deve essere $-\gamma<0$ e dunque $\gamma>0$.
Nel tuo caso l'esponenziale è già al denominatore, perciò il suo esponente deve essere positivo affinché rimanga al denominatore; quindi deve essere $\alpha+1>0\Leftrightarrow \alpha > -1$.
Dunque, intersecando quest'ultima condizione con la condizione su $\alpha$ data dalla stima asintotica per $x\to0^+$, risulta che in conclusione l'integrale converge se $-1<\alpha<1$.

P.S.: Se rispondi al messaggio appena sopra al tuo non è necessario citarlo (a meno che tu non ti riferisca a parti precise del discorso), in tal modo la lettura è più scorrevole :D
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
Avatar utente
Mephlip
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 601 di 3650
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite