Ciao ragazzi, ho un problema con questo esercizio. Mi chiede di calcolare per quali valori di $ alpha $ l'integrale improprio converge e calcolarlo per $ alpha $=0.
$ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $
Per prima cosa io mi sono risolto l'integrale(ponendo, appunto $ alpha $=0) in questo modo:
Ho posto $ t=e^x =>dt=e^xdx $
$ int_(1)^(oo) 1/(t^2+6t+10)dt => int_(1)^(oo) 1/((t+3)^2+1)dt => pi/2-arctg(4) $
(è corretto?)
Successivamente ho cercato di capire i valori di alpha che mi fanno convergere l'integrale, ma ho qualche problema.
Per $ x ->0^+ $ $ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $ $ ~ 1/(x^alpha*17 )~ 1/x^alpha $ Che mi converge per $ alpha <1 $
Per $ x ->oo $ Non so bene come comportarmi...
Qualcuno sa aiutarmi? Vi ringrazio come sempre!