Rotolamento puro corpo rigido

[alemar05]

Buonasera, avrei una domanda sul seguente esercizio.
Un disco di raggio R=0.1m e massa M=0.5kg è sospeso su di un piano orizzontale e ruota con velocità angolare $omega=3$ costante intorno ad un asse orizzontale passante per il centro. Ad un certo punto viene lasciato cadere sul piano, con il quale esiste un coefficiente di attrito dinamico $mu_d=0.3$. Ipotizzando che non rimbalzi e rimanga verticale determinare nel momento in cui il moto diventa di puro rotolamento la velocità angolare, la variazione di energia cinetica e il tratto di slittamento.
Mi sono scritto le leggi orarie del moto:
$ omega(t)=omega-2mu_dg*t/R $
$ v(t)=mu_dg*t $
Imponendo $omega_f*R=v_f$ per il rotolamento puro mi sono ricavato la velocità angolare ed infine la variazione di energia meccanica.
Sino a qui tutto a posto, infatti i risultati tornano. Per rispondere all'ultima domanda ho ragionato in questo modo:
$ s=vartheta_fR+x_f=R(omegat_f-(mu _dg(t_f)^2)/R)+1/2mu_dg(t_f)^2 $
Il risultato è sbagliato. Cosa c'è che non va?
Il professore utilizza il teorema del lavoro e dell'energia cinetica. Vedendolo cinematicamente piuttosto che dinamicamente il risultato non dovrebbe venire lo stesso?

[professorkappa]

Certo che deve venire lo stesso. La soluzione del professore e' la piu immediata,
Se vuoi risolverlo cinematicamente, la rotazione non c'entra nulla, l'unica accelerazione del centro di massa del corpo e' dovuta all'attrito ed e' $mug$ costante, indipendentemente dalla velocita' rotazione.
Quindi $v(t)=mug t$ e $s=1/2mug t^2$.
Il tempo t e' ovviemante il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento e lo trovi dalle prime 2 equazioni. ]

Ti rendi conto che il procedimento del professore e' estremamente piu' veloce perche elimina la necessita' di trovare il tempo di slittamento

[alemar05]

Certo che deve venire lo stesso. La soluzione del professore e' la piu immediata,
Se vuoi risolverlo cinematicamente, la rotazione non c'entra nulla, l'unica accelerazione del centro di massa del corpo e' dovuta all'attrito ed e' $mug$ costante, indipendentemente dalla velocita' rotazione.
Quindi $v(t)=mug t$ e $s=1/2mug t^2$.
Il tempo t e' ovviemante il tempo impiegato per raggiungere la condizione di puro rotolamento e lo trovi dalle prime 2 equazioni. ]

Ti rendi conto che il procedimento del professore e' estremamente piu' veloce perche elimina la necessita' di trovare il tempo di slittamento

Grazie mille per la risposta.Il risultato non torna ugualmente. Infatti dalle due equazioni di sopra si ottiene il tempo:
$ t_f=(omegaR)/(3mu_dg) $
Sostituendo alla legge oraria:
$ s_=1/18(omega^2R^2)/(mu_dg) $
Mentre il professore ottiene
$ s_=1/6(omega^2R^2)/(mu_dg) $
Ho rincontrollato i conti ed il tempo è corretto, e lo deve essere per forza dato che la mia velocità angolare finale coincide con quella del prof!

[professorkappa]

Non so cosa dirti.
Il professore ottiene quel valore, ma cosa rappresenta quella s?

Tra l'altro correggo quanto detto prima, si fa molto meglio a lavorare con le forze che non con il teorema delle forze vive.

[alemar05]

S rappresenta lo spazio dello strisciamento prima che il moto diventi di puro rotolamento. Secondo te sbaglio qualcosa? Oppure è errato il ragionamento del professore? Il mio professore ricordo che una volta disse che in questo caso non è del tutto corretto utilizzare il teorema delle forze vive, ma non ricordo il motivo.

[professorkappa]

Si ma S e' misurato come? la distanza percorsa dal baricentro?
Infatti in questo caso il teorema delle forze vive crea piu' danno che beneficio, perche il lavoro si applica solo alla "extra rotazione", per cosi dire, che si ha, quella che fa si che il disco striscia.

Lo spazio percorso dal baricentro e' 1/18 etc. Se il professore dice che e' 1/6 sbaglia

[Lucacs]

Ciao
Se viene 1/18 vuol dire che come momento d'inerzia del disco ha usato un asse passante per il baricentro e il punto P, che è 1/2 etc etc

[professorkappa]

Ciao
Se viene 1/18 vuol dire che come momento d'inerzia del disco ha usato un asse passante per il baricentro e il punto P, che è 3/2 etc etc

No. 1/18 e lo spostamento del centro di massa tra il punto di partenza e il punto in cui cominicia il rotolamento puro. E' indipendente dalla scelta del polo, che e arbitraria: dovunque tu scelga il polo per la risoluzione del sistema di equazioni dinamiche, il risultato e' sempre lo stesso

[Lucacs]

Hai ragione
Ci provo
Durante il moto di strisciamento e rotolamento agisce la forza
$f=mu M g$
questa produce l'accelerazione $a=f/M=mu*g$
Le leggi orarie quindi:
$v(t) = v_0 -at=v_0 -mu*g*t$
Scrivendo la legge di Newton per i corpi rigidi
$I alpha =I(dω) /(dt) $
Quindi
$1/2 MR^2ω=mu*M*g*R*t$
da cui la seconda legge oraria
$ω(t) =2mu*g/R t$
Il tempo $t_x$ nel quale avviene il puro rotolamento e' dato da
$v_0 -mu*g*t_x=2mu*g*R/R t_x$
Da cui
$t_x=v_0/(3mug) $
In questa fase il disco ha velocità $v(t_x) =2/3v_0$ e velocità angolare $w(t_x) =v_0/R $
Lo spazio percorso strisciando e rotolando e' quindi
$s=v_0t_x-1/2 mu*g*t_(x) ^2 =v_0^2/(3mug)-1/2mug v_0^2/(9mu^2g^2)= 5/18 v_0^2/(mug) $
Ora fermarsi qui sarebbe un errore, questo e' lo spazio che comprende strisciamento e rotolamento.
Si dovrebbe sottrarre quindi $1/9v_0^2/(mug) $
E si ottiene il risultato del professore

[Lucacs]

La seconda parte è più immediata. Basta sottrarre all' energia meccanica iniziale quella all'inizio del puro rotolamento.
Il risultato è un terzo dell'energia meccanica iniziale, e uguale al lavoro della forza d'attrito