gradiente di funzione composta

[ravanello]

Riposto nella sezione corretta, scusate.
Ciao a tutti,
devo risolvere il seguente problema sul gradiente di una funzione composta:
Sia $f:RR^3 →RR$ di classe $C1$ tale che $∇f(2,0,0)=(1,1,2)$. Sia $g:RR^2→RR^3$ definita da $g(x,y)=(xy+y,x^2−x,x^3−y^2)$. Calcolare il gradiente della funzione composta $f(g(x,y))$ nel punto (1,1) cioè $∇f(g(x,y))(1,1)$.
Pensavo si dovesse applicare la chain rule ma da quella strada non cavo nulla. Però non capisco che altra strada esplorare per risolvere il problema.
Qualcuno è in grado di aiutarmi? Grazie.

[Bossmer]

Pensavo si dovesse applicare la chain rule ma da quella strada non cavo nulla.

Per "chain rule" cosa intendi di preciso?

In ogni caso è semplicissimo, prima di tutto noti che $g(1,1)=(2,0,0)$ e se non valesse questo non potresti risolvere l'esercizio, perché non varrebbe che $f(2,0,0)=f(g(1,1))$, che invece vale.
Quindi di calcoli lo Jacobiano di $g$ in $(1,1)$ e applichi il teorema dello jacobiano di una funzione composta, cioè che $J_h(1,1)=J_{f} (2,0,0) \cdot J_{g} (1,1)$ dove $J_{f} (2,0,0)$ non è altro che il gradiente di $f$ valutato in $(2,0,0)$, essendo una funzione a valori in $\mathbb{R}$, mentre $h$ è la funzione composta $h=f(g(x,y)) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$

[anto_zoolander]

Per "chain rule" cosa intendi di preciso?

proprio questo

$J_h(1,1)=J_{f} (2,0,0) \cdot J_{g} (1,1)$

[ravanello]

Grazie delle risposte.
Ma quindi devo calcolare il determinante della matrice Jacobiana di $g$ in $(1,1)$?
Cioè il determinante di una matrice rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne?!? E come si fa?

[Bossmer]

???
Vedo che c'è molta confusione sull'argomento, nessuno ti ha chiesto di calcolare nessun determinante.

devi solo fare il prodotto righe per colonne fra la matrice jacobiana di $f$ che è una matrice 1x3 e la jacobiana di $g$ che è una matrice 3x2 ottenendo così lo jacobiano della funzione composta che è una matrice 1x2 , e cioè un vettore riga ovvero il gradiente...

[ravanello]

In effetti avevo frainteso...
Gli appunti di lezione sulla Jacobiana (io non seguo perchè lavoro) si limitano alla definizione, quindi l'argomento mi è abbastanza oscuro.

Ora è molto più chiaro

Grazie mille

[Bossmer]

figurati il consiglio, comunque, è "bruciare" gli appunti e comprare dei libri e studiare da quelli... indipendentemente dalla bravura dei tuoi docenti...