siano $S,T ne emptyset $ verificare che:
$f:S to T$ la quale è iniettiva $<=> \ forall X,Y subseteq S$ risulta $f(X-Y)=f(X)-f(Y)$
$to$, siano $X,Y subseteq S$ verifichiamo che $f(X-Y)=f(X)-f(Y)$, quindi:
$subseteq$
sia $a in f(X-Y) <=> EE x in X-Y \:\ a=f(x) \ <=> \ EE x in X \ qquad \"e"\ qquad x notin Y \:\ a=f(x) <=> a in f(X) \ qquad \ "e" \ a notin f(Y) \<=>\ a in f(X)-f(Y)$
$supseteq$
per assurdo, sia $b in X$, $y in f(Y) \<=>\ EE a in Y \:\ y=f(a)$ essendo $f $ iniettiva si ha che $f(a)=f(b) to a=b$ allora $b in Y$ ma questo è assurdo, quindi $y notin f(Y)$ , quindi si ha la tesi.
\(\displaystyle \gets \), siano $X,Y subseteq S $ tali che $f(X-Y)=f(X)-f(Y)$ verifichiamo che $f$ è iniettiva, quindi:
siano $a in X$ e $b in Y$ dove $a ne b$ allora $a in X-Y$. Sia $y in f(X-Y) to EE x in X \:\ x notin Y \|\ y=f(x)$, in particolare si ha $EEa in X \:\ a notin B \|\ y=f(a) in f(X)-f(Y)$, allora si ha $f(a) ne f(b)$, si ha la tesi.
Non sono sicuro di aver eseguito i passaggi correttamente.
