integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 19/01/2020, 17:11

stabilire per quali valori di $alpha$ l'integrale improprio esiste finito

$\int_0^(+infty)(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)*arctan(sqrt(x))dx$

la funzione è continua in $(0;infty)$ e quindi gli unici problemi sono in $0$ e $+infty$.
Dunque:

$\int_0^(1)(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)dx$ $+$
$\int_1^(+infty)(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)dx$


se $(x->+infty)$ $(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)$ $~$ $(pi/2)/x^(alpha/2)$ e dunque integrabile se $alpha>2$

ora però non riesco a capire a che asintotico ricondurmi per $x->0^+$ per studiare la convergenza.

qualcuno riesce a darmi una mano?

grazie
Ultima modifica di Aletzunny il 19/01/2020, 18:53, modificato 2 volte in totale.
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Bossmer » 19/01/2020, 18:46

Aletzunny ha scritto:se $(x->+infty)$ $(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)$ $~$ $(pi/2)/x^(alpha/2)$ e dunque integrabile se $alpha>2$


Mmmh non credo proprio che quell'asintotico sia corretto... mi sa che hai confuso l'esponenziale con l'arcotangente...

Vicino a zero invece, proverei a cercare dei maggioranti invece che degli asintotici.
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 19/01/2020, 18:51

Bossmer ha scritto:
Aletzunny ha scritto:se $(x->+infty)$ $(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)$ $~$ $(pi/2)/x^(alpha/2)$ e dunque integrabile se $alpha>2$


Mmmh non credo proprio che quell'asintotico sia corretto... mi sa che hai confuso l'esponenziale con l'arcotangente...

Vicino a zero invece, proverei a cercare dei maggioranti invece che degli asintotici.


Hai ragione! Avevo dimenticato l'$arctan(sqrt(x))$
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 19/01/2020, 18:53

Aletzunny ha scritto:
Bossmer ha scritto:
Aletzunny ha scritto:se $(x->+infty)$ $(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)$ $~$ $(pi/2)/x^(alpha/2)$ e dunque integrabile se $alpha>2$


Mmmh non credo proprio che quell'asintotico sia corretto... mi sa che hai confuso l'esponenziale con l'arcotangente...

Vicino a zero invece, proverei a cercare dei maggioranti invece che degli asintotici.


Hai ragione! Avevo dimenticato l'$arctan(sqrt(x))$



Questo è l'integrale da studiare

$\int_0^(+infty)(e^[(3-alpha)/x])/x^(alpha/2)*arctan(sqrt(x))dx$
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Bossmer » 19/01/2020, 18:55

Aletzunny ha scritto:Hai ragione! Avevo dimenticato l'$arctan(sqrt{x}$


Ah allora si l'asintotico è corretto.

Per quanto riguarda la domanda, prima di tutto per $x \to 0^+$ userei il fatto che $$\arctan\left(\sqrt{x}\right) \sim \sqrt{x}$$
dopo di che il consiglio è lo stesso di prima, cercherei dei maggioranti... con un po' d'occhio si vede chi è il candidato maggiorante ;-) :-)

EDIT : sorry volevo dire minorante, un maggiorante non lo troverai mai... :lol:
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 19/01/2020, 19:36

Bossmer ha scritto:
Aletzunny ha scritto:Hai ragione! Avevo dimenticato l'$arctan(sqrt{x}$


Ah allora si l'asintotico è corretto.

Per quanto riguarda la domanda, prima di tutto per $x \to 0^+$ userei il fatto che $$\arctan\left(\sqrt{x}\right) \sim \sqrt{x}$$
dopo di che il consiglio è lo stesso di prima, cercherei dei maggioranti... con un po' d'occhio si vede chi è il candidato maggiorante ;-) :-)

EDIT : sorry volevo dire minorante, un maggiorante non lo troverai mai... :lol:



Per $x->0^+$ sono arrivato a capire che $f(x)$ $~$ $(e^[(3-alpha)/x])/x^((alpha/2)-(1/2))dx$

Però non so come lavoro sull'esponenziale per ricondurmi all'integrale notevole $1/x^p$ che converge per $p<1$.
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Bossmer » 19/01/2020, 19:57

Aletzunny ha scritto:Per $x->0^+$ sono arrivato a capire che $f(x)$ $~$ $(e^[(3-alpha)/x])/x^((alpha/2)-(1/2))dx$

Però non so come lavoro sull'esponenziale per ricondurmi all'integrale notevole $1/x^p$ che converge per $p<1$.



Allora per prima cosa dobbiamo guardare il segno dell'esponente dell'esponenziale per capire se per $x\to 0^+$ l'esponente tende a $+\infty$ o a $-\infty$.
Quindi abbiamo che per $\alpha>3$ , l'esponente è negativo, quindi tende a $-\infty$ e di conseguenza abbiamo che tutta la funzione tende a zero, quindi l'integrale converge perché la funzione è limitata tra zero e 1.

Per $\alpha<3$ invece basta notare che $$
\frac{e^{\frac{3-\alpha}{x}}}{x^{\frac{\alpha-1}{2}}} \geq e^{\frac{3-\alpha}{x}}
$$

perché il denominatore è compreso fra zero e uno, e l'integrale della funzione minorante diverge per $\alpha<3$.

rimane poi da studiare $\alpha=3$ ma è semplice e lo lascio a te. :-D
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 19/01/2020, 20:38

Bossmer ha scritto:
Aletzunny ha scritto:Per $x->0^+$ sono arrivato a capire che $f(x)$ $~$ $(e^[(3-alpha)/x])/x^((alpha/2)-(1/2))dx$

Però non so come lavoro sull'esponenziale per ricondurmi all'integrale notevole $1/x^p$ che converge per $p<1$.



Allora per prima cosa dobbiamo guardare il segno dell'esponente dell'esponenziale per capire se per $x\to 0^+$ l'esponente tende a $+\infty$ o a $-\infty$.
Quindi abbiamo che per $\alpha>3$ , l'esponente è negativo, quindi tende a $-\infty$ e di conseguenza abbiamo che tutta la funzione tende a zero, quindi l'integrale converge perché la funzione è limitata tra zero e 1.

Per $\alpha<3$ invece basta notare che $$
\frac{e^{\frac{3-\alpha}{x}}}{x^{\frac{\alpha-1}{2}}} \geq e^{\frac{3-\alpha}{x}}
$$

perché il denominatore è compreso fra zero e uno, e l'integrale della funzione minorante diverge per $\alpha<3$.

rimane poi da studiare $\alpha=3$ ma è semplice e lo lascio a te. :-D



Quindi per l'esponenziale dovrei prendere solo $alpha>3$

Ma perché non considero più l'esponente di $x$ che dovrebbe essere $((alpha)/2)-(1/2)<1$ ?

Infine per $alpha=3$ l'esponenziale si annulla e dunque diventa $e^0=1$ e l'esponente di $x$ sarebbe $1$ e dunque l'integrale non converge
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Bossmer » 19/01/2020, 21:08

Aletzunny ha scritto:Quindi per l'esponenziale dovrei prendere solo $alpha>3$

Ma perché non considero più l'esponente di $x$ che dovrebbe essere $((alpha)/2)-(1/2)<1$ ?


No non è che non lo consideri più, se stai risolvendo un integrale del tipo :
$$
\int_a^b f(x)dx
$$
se hai che $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ è limitata in questo intervallo allora l'integrale converge, fine, come farebbe a divergere? (ovviamente si può dimostrare, non è difficile)

nel tuo caso tu hai che per $x=1$ non ci sono problemi, per $x=0$ la funzione non è definita, tuttavia se calcoliamo il limite in zero dell'integranda abbiamo che
$$
\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\frac{3-\alpha}{x}}}{x^{\frac{\alpha-1}{2}}}=0 \hspace{1cm} \forall \, \alpha>3
$$
se $\alpha>3$ quindi la tua funzione è limitata(e pure positiva) e l'integrale non può fare altro che convergere, se fai un disegno lo vedi immediatamente...

Aletzunny ha scritto:Infine per $alpha=3$ l'esponenziale si annulla e dunque diventa $e^0=1$ e l'esponente di $x$ sarebbe $1$ e dunque l'integrale non converge


Esatto :-D
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Re: integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 19/01/2020, 21:21

Bossmer ha scritto:
Aletzunny ha scritto:Quindi per l'esponenziale dovrei prendere solo $alpha>3$

Ma perché non considero più l'esponente di $x$ che dovrebbe essere $((alpha)/2)-(1/2)<1$ ?


No non è che non lo consideri più, se stai risolvendo un integrale del tipo :
$$
\int_a^b f(x)dx
$$
se hai che $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ è limitata in questo intervallo allora l'integrale converge, fine, come farebbe a divergere? (ovviamente si può dimostrare, non è difficile)

nel tuo caso tu hai che per $x=1$ non ci sono problemi, per $x=0$ la funzione non è definita, tuttavia se calcoliamo il limite in zero dell'integranda abbiamo che
$$
\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\frac{3-\alpha}{x}}}{x^{\frac{\alpha-1}{2}}}=0 \hspace{1cm} \forall \, \alpha>3
$$
se $\alpha>3$ quindi la tua funzione è limitata(e pure positiva) e l'integrale non può fare altro che convergere, se fai un disegno lo vedi immediatamente...

Aletzunny ha scritto:Infine per $alpha=3$ l'esponenziale si annulla e dunque diventa $e^0=1$ e l'esponente di $x$ sarebbe $1$ e dunque l'integrale non converge


Esatto :-D



Ecco dove non mi è chiaro l'esercizio!
Perchè il $lim_(x->0^+) f(x)$ è $0$ ?

Non verrebbe una forma di indecisione $[0/0]$ che non riesco a pensare in modo diverso per risolverlo.
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