Serie di Laurent

Messaggioda Ianya » 19/01/2020, 14:44

Buon pomeriggio
Devo sviluppare in serie di Laurent $f(x) =1/(z^2- 3z +2)$ in $abs(z-1)>1$
Ho scritto la funzione come $f(x) =-1/(z-1) + 1/(z-2)$ ed $1/(z-2) = sum_{n=0}^(+infty) (z-1)^(-n-1)$
Per cui $f(x) =-1/(z-1) +sum_{n=0}^(+infty) (z-1)^(-n-1)$
È giusto?
Grazie in anticipo
Ianya
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Re: Serie di Laurent

Messaggioda Bossmer » 19/01/2020, 21:30

Ianya ha scritto:Buon pomeriggio
Devo sviluppare in serie di Laurent $f(x) =1/(z^2- 3z +2)$ in $abs(z-1)>1$

Cosa vuol dire che la devi sviluppare in $abs(z-1)>1$? che centro deve avere la serie? intendi che la devi sviluppare $z=1$ ? da come hai scritto i conti credo tu intenda che la devi sviluppare in $z=1$...

Ianya ha scritto:Ho scritto la funzione come $f(x) =-1/(z-1) + 1/(z-2)$


Fino a qui sono d'accordo con te, ma poi non sono d'accordo quando dici
Ianya ha scritto:$1/(z-2) = sum_{n=0}^(+infty) (z-1)^(-n-1)$


la funzione $1/(z-2)$ è analitica in $z=1$ quindi la sua serie di Laurent corrisponde con il suo sviluppo di Taylor in $z=1$ che è $$- \sum_{n=0}^{+\infty}(z-1)^n$$
"In matematica non si capiscono le cose. Semplicemente ci si abitua ad esse."
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Re: Serie di Laurent

Messaggioda Ianya » 21/01/2020, 17:00

La serie deve avere centro in 1. Quello che hai scritto tu è lo sviluppo per $ abs(z-1) <1$, io devo scriverlo per $abs(z-1)>1$
Ianya
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Re: Serie di Laurent

Messaggioda pilloeffe » 21/01/2020, 17:52

Ciao Ianya,
Ianya ha scritto:È giusto?

Direi proprio di sì perché si ha:

$f(z) = - 1/(z - 1) + 1/(z - 2) = - 1/(z - 1) + 1/((z - 1) - 1) = - 1/(z - 1) + 1/(z - 1) \cdot 1/(1 - 1/(z - 1)) = $
$ = - 1/(z - 1) + 1/(z - 1) \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}(1/(z - 1))^n = - 1/(z - 1) + \sum_{n = 0}^{+\infty}(z - 1)^{- n - 1} $

Naturalmente per $1/|z - 1| < 1 \iff |z - 1| > 1 $
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Re: Serie di Laurent

Messaggioda Ianya » 23/01/2020, 11:41

Grazie
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