Matrice rappresentativa di una proiezione

[Daria28]

Salve a tutti, ho un problema.. non so proprio come impostare gli esercizi di questo tipo..
testo esercizio:
In R3 ho l'equazione del piano S
x+y+z=0
sia φ la funzione che ad ogni punto X associa la differenza π₁(X) - π₂(X) tra la sua proiezione ortogonale π₁(X) su S e la sua proiezione ortogonale π₂(X) su S⊥ ( S ortogonale)
scrivere la matrice che rappresenta φ rispetto alla base canonica

[solaàl]

E' evidente che \(S^\perp = \left\langle\left( \begin{smallmatrix} 1\\1\\1 \end{smallmatrix} \right) \right\rangle = \), e che \(S\) è generato, ad esempio, da \(\left( \begin{smallmatrix} 1\\-1\\0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix} 0\\1\\-1 \end{smallmatrix} \right) \). Da qui, che si fa?

[Bokonon]

Chiamando $P$ la matrice di proiezione ortogonale su S e $P^(_|_)$ la matrice di proiezione ortogonale su $S^(_|_)$ abbiamo che $P^(_|_)=I-P$
Da cui la matrice $phi=P-(I-P)=I-2P$ ovvero è la matrice di riflessione su S.