Viene applicato ripetutamente il seguente fatto: se $X$ e $Y$ sono due matrici tra loro moltiplicabili allora
$rg(XY) le rg(X)$,
$rg(XY) le rg(Y)$.
(prova a rifare l'esercizio usando queste disuguaglianze, che valgono in generale!)
Il motivo è sostanzialmente che se hai una composizione di funzioni lineari
allora l'immagine della composizione \( \displaystyle g \circ f:U \to W \) è contenuta (ovviamente) nell'immagine di \( \displaystyle g:V \to W \) , cioè \( \displaystyle g(f(U)) \subseteq g(V) \) , e quindi \( \displaystyle \dim(g(f(U)) \leq \dim(g(V)) \) .
Inoltre \( \displaystyle \dim(f(U)) \geq \dim(g(f(U)) \) perché vale in generale la cosa seguente: se \( \displaystyle f:V \to W \) è lineare allora \( \displaystyle \dim(V) \geq \dim(f(V)) \) (pensaci).
Collega i puntini ricordando che la composizione di due funzioni lineari corrisponde al prodotto delle matrici associate e che la dimensione dell'immagine di una funzione lineare coincide col rango della matrice associata.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.