Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda RP-1 » 19/01/2020, 23:21

Buonasera,

il mio docente di algebra lineare richiede la conoscenza della dimostrazione del seguente risultato:

Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale è una base se e solo se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.


Onestamente, non capisco a cosa possa riferirsi. Una delle tre condizioni del teorema di caratterizzazione? In ogni caso, come andrebbe dimostrato correttamente?
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda Sergio » 20/01/2020, 00:10

RP-1 ha scritto:
Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale è una base se e solo se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.

Definizione. Dato uno spazio vettoriale $V$, un insieme di vettori $B\subset V$ si dice base di $V$ se è linearmente indipendente e genera $V$.

Proposizione. Dato uno spazio vettoriale $V$, un insieme ordinato di $n$ suoi vettori, \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\), è una base di $V$ se e solo se per ogni vettore $v$ di $V$ esiste un unico insieme ordinato di scalari \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}\) tale che \(\sum_{i=1}^n\alpha_i b_i=v\).
Dimostrazione. Se per ogni vettore $v\in V$ esiste un'unica combinazione lineare dei vettori in $B$, allora tali vettori sono generatori di $V$; inoltre, se \(\sum_{i=1}^n\alpha_i b_i=0\), dal momento che anche \(\sum_{i=1}^n0 b_i=0\) e che esiste un'unica combinazione lineare anche per il vettore nullo, allora $\alpha_i=0$ per qualsiasi $i$, quindi i vettori in $B$ sono anche linearmente indipendenti e costituiscono pertanto una base per $V$.
Viceversa, se $B$ è una base i vettori in essa sono linearmente indipendenti; se vi fossero due combinazioni lineari per un vettore $v$, \(\sum_{i=1}^n\alpha_i b_i\) e \(\sum_{i=1}^n\beta_i b_i\), si avrebbe:
\[v-v=\sum_{i=1}^n\alpha_i b_i-\sum_{i=1}^n\beta_i b_i=\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i) b_i=0\]Poiché i vettori $b_i$ sono linearmente indipendenti, deve essere $\alpha_i=\beta_i$ per ciascun $i$, deve cioè esserci un'unica combinazione lineare che genera $v$.

Postilla. Questi preziosismi apparentemente inutili hanno un senso: se non esistesse un'unica combinazione lineare di elementi di $B$ in grado di generare $v$, sarebbe impossibile determinare in modo univoco le coordinate di $v$ rispetto a $B$ (che sono appunto i coefficienti di quell'unica combinazione lineare). È questo il motivo per cui i vettori di una base non solo devono poter generare tutto lo spazio vettoriale (ovvio), ma devono anche essere linearmente indipendenti (un po' meno ovvio).
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda RP-1 » 20/01/2020, 11:27

Ciao, ti ringrazio per la disponibilità qui e nell'altro post! Onde non aprirne un terzo, pongo qui un secondo dubbio:
Qual è la differenza tra un sistema ordinato di vettori ed uno che non lo è? Qual è la condizione per la quale un sistema di vettori risulti ordinato?
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda Sergio » 20/01/2020, 13:01

RP-1 ha scritto:Qual è la differenza tra un sistema ordinato di vettori ed uno che non lo è? Qual è la condizione per la quale un sistema di vettori risulti ordinato?

Puoi anche intendere "insieme ordinato" come "insieme indicizzato", basta cioè indicare i vettori con la notazione \(\{v_i\}_{i=1}^n\). In parole povere, nell'insieme \(\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\) è chiaro qual è il primo vettore, quale il secondo ecc.
Questo è ovviamente necessario, basta pensare che \(B=\{b_1=(1,0),b_2=(0,1)\}\) e \(B'=\{b_1=(0,1),b_2=(1,0)\}\) sono insiemi uguali, ma le coordinate di $v=(1,2)$ sono $(1,2)$ rispetto a $B$, $(2,1)$ rispetto a $B'$.

Breve noticina autobiografica. Quando scrissi "Algebra lineare for dummies", in prima battuta avevo scritto che una base è un insieme di vettori ecc. ecc. ma Fioravante Patrone mi fece notare che una base è un insieme ordinato di vettori, per il motivo appena detto. E così da allora dico sempre "insieme ordinato".
In realtà ho poi visto che si preferisce parlare di "insiemi indicizzati" (e chi non lo dice espressamente usa comunque la notazione con indici), che non sono altro che applicazioni da un sottoinsieme dei naturali in un insieme di vettori, mentre definire in modo rigoroso "$n$-upla ordinata" complicherebbe un po' le cose (si può invece dare per scontato che i naturali sono ordinati, a meno di non volerli ricostruire ogni volta).
D'altra parte, una volta che hai stabilito una tale applicazione, puoi ben dire che un insieme come $\{v_i\}$ è ordinato perché è ordinato l'insieme degli indici.
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda RP-1 » 20/01/2020, 13:44

Sei stato chiarissimo, grazie di nuovo.

Ne ho un'altra ancora: il testo Geometria e Algebra (L.A. Lomonaco) propone la seguente proposizione:

Per ogni sistema, o anche sottoinsieme, S dello spazio vettoriale V, L(S) è un sottospazio di V.


L'affermazione mi risulta banale, la dimostrazione no. Suggerimenti?
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda Sergio » 20/01/2020, 14:34

RP-1 ha scritto:L'affermazione mi risulta banale, la dimostrazione no.

La dimostrazione direi pure: comunque preso un insieme $S$ di vettori, $L(S)$ (l'insieme delle loro combinazioni lineari) è uno spazio vettoriale. Se $S\subset V$, mi pare un po' difficile che $L(S)$ possa comprendere vettori che non appartengono a $V$.
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda RP-1 » 20/01/2020, 15:30

Più che una dimostrazione la tua è una definizione. Come dimostro algebricamente che l'insieme delle combinazioni lineari di n vettori è uno sottospazio?
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda Sergio » 20/01/2020, 18:42

RP-1 ha scritto:Più che una dimostrazione la tua è una definizione. Come dimostro algebricamente che l'insieme delle combinazioni lineari di n vettori è uno sottospazio?

E cosa hai contro le dimostrazioni basate sulle definizioni?
Per definizione un sottospazio è un sottoinsieme che è a sua volta uno spazio vettoriale.
Per definizione, uno spazio vettoriale è un insieme di elementi che possono essere sommati tra loro e moltiplicati per scalari, dando luogo ancora a elementi dello stesso insieme. E che altro è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un insieme di vettori?
Il top dei testi di algebra lineare è per molti Steven Roman, Advanced Linear Algebra, Springer, io ho la seconda edizione del 2005 e a pag. 42 si trova la seguente definizione: il sottospazio generato da un insieme $S$ di vettori in $V$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di $S$.
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda RP-1 » 21/01/2020, 12:45

Quindi in parole povere la dimostrazione è nel fatto che, essendo S un sottoinsieme di V, al massimo può generare V (che può essere considerato a sua volta sottospazio di V stesso?), giusto?
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Re: Base di uno spazio vettoriale

Messaggioda Sergio » 21/01/2020, 13:11

Più o meno: $L(S)$ è uno spazio vettoriale; poiché $S$ è un sottoinsieme di $V$, $L(S)$ è un sottospazio di $V$.

Se vuoi, puoi pensare che in $S$ ci sono $p$ vettori, di cui $q$ linearmente indipendenti. $L(S)$ è uno spazio vettoriale di cui quei $q$ vettori sono una base.
E ora i casi sono due. Indicando con $n$ la dimensione di $V$:
a) $q=n$, quindi $L(S)=V$;
b) $q<n$, quindi \(L(S) \ne V, L(S)\subset V\).
Ovviamente $q>n$ è impossibile, perché per la definizione di "dimensione" da uno spazio vettoriale di dimensione $n$ non puoi estrarre $q>n$ vettori linearmente indipendenti.
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