Teorema della divergenza: dubbio riguardo la dimostrazione

[DeltaEpsilon]

Sia \(\displaystyle F=(F1,F2) \) un campo vettoriale di classe \(\displaystyle C^1 \) in \(\displaystyle D \) dominio regolare
Vale che \(\displaystyle \iint_{D}^{ }divF\: dxdy = \oint_{+\partial D} F\bullet N \: ds \) con \(\displaystyle N \) versore normale a \(\displaystyle D \)

Dimostrazione

Calcolo le due espressioni separatamente e verifico che sono uguali

• \(\displaystyle \iint_{D}^{ }divF\: dxdy =
  
  \iint_{D}^{ } \frac{\partial F1}{\partial x} + \frac{\partial F2}{\partial y} \: dxdy =
  \oint_{+\partial D} F1dy - F2dx \)
  
  
• Definisco la frontiera \(\displaystyle +\partial D \) come \(\displaystyle x = x(t) \) , \(\displaystyle y = y(t) \) con \(\displaystyle t \in [a,b] \)
  
  \(\displaystyle \oint_{+\partial D} F\bullet N \: ds = \)
  
  
  \(\displaystyle \int_{a}^{b} \left ( \frac{F1 \cdot y'(t)}{\sqrt{[y'(t)]^2 + [y'(t)]^2}} - \frac{F2 \cdot x'(t)}{\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}} \right )\: ds =
  \)
  
  \(\displaystyle \int_{a}^{b} \left ( \frac{F1 \cdot y'(t)}{\sqrt{[y'(t)]^2 + [y'(t)]^2}} - \frac{F2 \cdot x'(t)}{\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}} \right ) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \: dt = \)
  
  
  \(\displaystyle \int_{a}^{b} F1 \cdot y'(t) - F2 \cdot x'(t) \: dt = \)
  
  
  \(\displaystyle \oint_{+\partial D} F1dy - F2dx \)

Dunque la tesi è verificata.

Le mie domande a riguardo:

1) Nell'integrale a destra dell'uguaglianza della tesi, chi è \(\displaystyle ds \)? Ha a che fare con l'ascissa curvilinea?

2) Perchè nelle ipotesi si richiede che \(\displaystyle D \) sia un dominio regolare?

Grazie in anticipo.

[Reyzet]

Se non ricordo male (qualcuno mi correggerà in caso) si scelgono i domini regolari perché sono quelli per cui vale Gauss-Green, che hai usato nella prima parte della dimostrazione.
L'altro dubbio sì, è l'ascissa curvilinea.

[DeltaEpsilon]

Se non ricordo male (qualcuno mi correggerà in caso) si scelgono i domini regolari perché sono quelli per cui vale Gauss-Green, che hai usato nella prima parte della dimostrazione.
L'altro dubbio sì, è l'ascissa curvilinea.

Grazie, giusto! Come ho fatto a non pensarci

[pilloeffe]

Ciao DeltaEpsilon,

Beh, $\text{d}s = sqrt{\text{d}x^2 + \text{d}y^2} $

Si può dimostrare che:
- se la curva $\gamma $ è una funzione $y = f(x) $ si ha $\text{d}s = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \text{d}x $;
- se $\gamma $ è espressa in forma parametrica si ha $\text{d}s = sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \text{d}t $;
- se infine $\gamma $ è espressa in forma polare $\rho = \rho(theta) $ si ha $\text{d}s = sqrt{[\rho(\theta)]^2 + [\rho'(\theta)]^2} \text{d}\theta $

[DeltaEpsilon]

Tutto chiarissimo, grazie mille!