correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda Aletzunny » 20/01/2020, 20:58

date le forme quadratiche da $RR^4->RR$ stabilire se esse sono congruenti:

$f:2x^2+4xy+z^2+2zw+2w^2$

$g:2x^2+4xy+y^2+2zw+2w^2$

la matrice associata a $f$ è

$F=((2,2,0,0),(2,0,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2))$
corretta?

e per calcolare gli autovalori trovo

$F'=((2-t,2,0,0),(2,0-t,0,0),(0,0,1-t,1),(0,0,1,2-t))$

sviluppando il determinate di $F'$ con la regola di Laplace rispetto alla prima riga trovo

$(2-t)[-t(1-t)(2-t)+t]-2[2(1-t)(2-t)-2]$

potrebbe essere corretto?

perchè svolgendo i conti(facile che ci siano errori) trovo poi un'equazione molto difficile, cioè

$t^4-5t^3+3t^2+10t-4=0$ che non riesco a risolvere.

allo stesso modo la matrice associata a $g$ è

$G=((2,2,0,0),(2,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,2))$
corretta?

e quindi

$G'=((2-k,2,0,0),(2,1-k,0,0),(0,0,0-k,1),(0,0,1,2-k))$

calcolando il determinante con Laplace rispetto alla prima riga trovo

$(2-k)[(1-k)(-k)(2-k)-(1-k)]-2[-2k(2-k)-2]$

potrebbe essere corretto?

perchè sviluppando i conti trovo

$k^4-5k^3+3k^2+7k+2$

che non riesco a risolvere.

Qualcuno può darmi una mano?

Sto impazzendo e non capisco dove commento errori.
Lo sviluppo del determinante mi pare corretto ma non ne ho la certezza.
Grazie
Aletzunny
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Re: correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda Sergio » 20/01/2020, 23:58

Aletzunny ha scritto:perchè svolgendo i conti(facile che ci siano errori) trovo poi un'equazione molto difficile, cioè
$t^4-5t^3+3t^2+10t-4=0$ che non riesco a risolvere.

Non serve che la risolvi.
Per stabilire se $F$ e $G$ sono conguenti, ti basta il numero degli autovalori (delle radici del polinomio caratteristico) positivi, negativi e nulli, e per questo ti basta il criterio di Cartesio.
I segni sono +-++-, le variazioni di segno sono tre (da $+t^4$ a $-5t^3$, da $-5t^3$ a $+3t^2$, da $+10t$ a $-4$) quindi le radici positive sono 3 o una.
Sostituendo $t$ con $-t$ hai $t^4+5t^3+3t^2-10t-4$, dove c'è una sola variazione di segno, quindi c'è una sola radice negativa.
Riepilogo: 3 o 1 radici positive, 1 radice negativa.

Aletzunny ha scritto:$k^4-5k^3+3k^2+7k+2$

Due variazioni di segno (da $+k^4$ a $-5k^3$ e da $-5k^3$ a $3k^2$).
Anche in $k^4+5k^2+3k^2-7k+2$ ci sono due variazioni di segno (da $3k^2$ a $-7k$, da $-7k$ a $+2$).
Riepilogo: 2 o zero radici positive, 2 o zero radici negative.

Puoi fermarti qui. Le due forme quadratiche non possono avere uguale segnatura, quindi non sono congruenti.

PS: Dimenticavo. I conti mi sembrano corretti. E se sei curioso la segnatura di $F$ è $(3,1,0)$, quella di $G$ è $(2,2,0)$.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda arnett » 21/01/2020, 01:42

Non ho controllato i conti, ma ti conviene raccogliere invece che sviluppare i conti dei polinomi, di modo da averli già parzialmente fattorizzati. Questo se vuoi trovare gli autovalori, ma spesso non è davvero necessario in esercizi di questo tipo.
"ci scruta poi gira se ne va"
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Re: correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda Aletzunny » 21/01/2020, 08:20

Sergio ha scritto:
Aletzunny ha scritto:perchè svolgendo i conti(facile che ci siano errori) trovo poi un'equazione molto difficile, cioè
$t^4-5t^3+3t^2+10t-4=0$ che non riesco a risolvere.

Non serve che la risolvi.
Per stabilire se $F$ e $G$ sono conguenti, ti basta il numero degli autovalori (delle radici del polinomio caratteristico) positivi, negativi e nulli, e per questo ti basta il criterio di Cartesio.
I segni sono +-++-, le variazioni di segno sono tre (da $+t^4$ a $-5t^3$, da $-5t^3$ a $+3t^2$, da $+10t$ a $-4$) quindi le radici positive sono 3 o una.
Sostituendo $t$ con $-t$ hai $t^4+5t^3+3t^2-10t-4$, dove c'è una sola variazione di segno, quindi c'è una sola radice negativa.
Riepilogo: 3 o 1 radici positive, 1 radice negativa.

Aletzunny ha scritto:$k^4-5k^3+3k^2+7k+2$

Due variazioni di segno (da $+k^4$ a $-5k^3$ e da $-5k^3$ a $3k^2$).
Anche in $k^4+5k^2+3k^2-7k+2$ ci sono due variazioni di segno (da $3k^2$ a $-7k$, da $-7k$ a $+2$).
Riepilogo: 2 o zero radici positive, 2 o zero radici negative.

Puoi fermarti qui. Le due forme quadratiche non possono avere uguale segnatura, quindi non sono congruenti.

PS: Dimenticavo. I conti mi sembrano corretti. E se sei curioso la segnatura di $F$ è $(3,1,0)$, quella di $G$ è $(2,2,0)$.


Ciao Sergio, ho provato a cercare anche su internet ma non ho ben capito come funziona questo criterio di Cartesio.
Potresti spiegarmelo?

Inoltre a me serve proprio la segnatura di $F$ e $G$ come da te riporta nel P.S.
Grazie
Aletzunny
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Re: correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda Aletzunny » 21/01/2020, 08:41

arnett ha scritto:Non ho controllato i conti, ma ti conviene raccogliere invece che sviluppare i conti dei polinomi, di modo da averli già parzialmente fattorizzati. Questo se vuoi trovare gli autovalori, ma spesso non è davvero necessario in esercizi di questo tipo.


Nel mio caso è richiesta proprio la segnatura (esattamente uguale a quella scritta da Sergio).
Ho provato a giocarci un attimo prima di sviluppare i conti ma, a partire dall'espressione del determinante, non riesco a raccogliere nulla per semplificarmi il calcolo.
Aletzunny
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Re: correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda Sergio » 21/01/2020, 09:06

Aletzunny ha scritto:Nel mio caso è richiesta proprio la segnatura (esattamente uguale a quella scritta da Sergio).
Ho provato a giocarci un attimo prima di sviluppare i conti ma, a partire dall'espressione del determinante, non riesco a raccogliere nulla per semplificarmi il calcolo.

Ok.
Non devi "raccogliere" dopo che sei arrivato al polinomio, semplicemente non devi arrivare al polinomio. Che è poi quello che diceva arnett.
Nel caso di $G$, il determinante è: $(2-k)(1-k)(k^2-2k-1)-4(k^2-2k-1)$.
A questo punto non devi sviluppare i prodotti per arrivare a un polinomio. Devi invece considerare che quella roba è uguale a $[(2-k)(1-k)-4](k^2-2k-1)$ e quindi si annulla per:
a) $k^2-2k-1=0$
b) $(2-k)(1-k)-4=k^2-3k-2=0$
Due banali equazioni di secondo grado.

PS: Non è un "trucchetto" per questo singolo esercizio. Come diceva arnett, per trovare gli autovalori "ti conviene raccogliere invece che sviluppare i conti dei polinomi, di modo da averli già parzialmente fattorizzati", ed è un principio di carattere generale (v. ad es. qui).
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Re: correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda Sergio » 21/01/2020, 10:17

Quasi quasi però un "trucchetto" te lo svelo. Hai notato che le matrici $F$ e $G$ hanno una forma un po' particolare?
$F=((A,0),(0,B)), \qquad G=((C,0),(0,D))$
Il determinante di matrici di questo tipo, ma anche di matrici triangolari a blocchi come $((T,U),(0,V))$, non è altro che il prodotto dei determinanti delle sottomatrici lungo la diagonale: $|F|=|A||B|$.1
Tenendo presente questo, vedi subito e senza fare alcun calcolo che i determinanti delle due matrici sono prodotti di due polinomi di secondo grado.
Per $G'$ hai: $|(2-k,2),(2,1-k)| |(0-k,1),(1,2-k)|$, che ti porta subito a $[(2-k)(1-k)-4][-k(2-k)-1]$.

Note

  1. Vedi ad esempio qui. Più in generale, un librone come David Harville, Matrix Algebra from a Statistician's Perspective può essere molto utile anche a non statistici.
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Re: correzione esercizio su forme quadratiche congruenti

Messaggioda Aletzunny » 21/01/2020, 13:18

Grazie per i suggerimenti... sono riuscito a semplificare entrambi i determinanti e a trovare le segnature richieste
Aletzunny
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