Fissato un numero $n in NN$ dispari, si chiama $n$-agono regolare di Reuleaux un poligono "curvilineo" costruito come segue:
- si disegna un $n$-agono regolare di vertici $A_1... A_n$ e, da ogni suo vertice, si tracciano le due diagonali maggiori (quelle che congiungono $A_k$ coi vertici del lato opposto);
- con centro nel vertice $A_k$ ed apertura la diagonale maggiore uscente da tale vertice, si traccia l'arco minore di circonferenza che ha gli estremi coincidenti coi vertici del lato opposto ad $A_k$;
- lo $n$-agono regolare di Reuleaux di vertici $A_1...A_n$ è il poligono curvilineo delimitato da $"arc"(A_1A_2), "arc"(A_2A_3), …, "arc"(A_nA_1)$.
Ad esempio, i seguenti sono triangolo, pentagono, eptagono ed ennagono regolari di Reuleaux:
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Esercizio:
1. Se $d>0$ è la misura della diagonale maggiore del poligono regolare $A_1...A_n$ di partenza, calcolare l'area ed il perimetro dello $n$-agono regolare di Reuleaux avente gli stessi vertici.
2. Quanto vale il rapporto $("area")/("perimetro"^2)$ per lo $n$-agono regolare di partenza?
3. Quanto vale il rapporto $("area")/("perimetro"^2)$ per lo $n$-agono regolare di Reuleaux?
4. La quantità $("area")/("perimetro"^2)$ varia per movimenti rigidi del piano?
E per omotetie?
5. Prova che è possibile usare un'omotetia di rapporto $lambda>0$ (da calcolare) per costruire un $n$-agono regolare di Reuleaux avente la stessa area di un $n$-agono regolare assegnato e calcolane il perimetro.
6. Per le due figure determinate al punto 5 calcola e confronta tra loro i due rapporti $("area")/("perimetro"^2)$ e stabilisci quale tra di essi è più vicino al rapporto $("area")/("perimetro"^2)$ del cerchio avente la stessa area delle due figure.