cri98 ha scritto:è corretto?
Sì, ma perché hai la tendenza a complicarti la vita?
Semplicemente si ha:
$ \int \int \int_v y^2 \text{d}v = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^R \rho \text{d}\rho \int_{h/R \rho}^h y^2 \text{d}y = 2\pi \int_0^R [h^3/3 \rho - h^3/(3R^3) \rho^4] \text{d}\rho = 2\pi[h^3 \rho^2/6 - [h^3 \rho^5)/(15 R^3)]_0^R = $
$ = 2\pi[h^3 R^2/6 - [h^3 R^2)/15] = 1/5 \pi h^3 R^2 $
Naturalmente l'integrale inizialmente proposto si ottiene considerando $h = 1 $ e $R = 3 $, per cui risulta $9/5 \pi $.
Come ulteriore esercizio potresti provare a calcolare il volume del cono di altezza $h$ e raggio di base $R$:
$\int\int\int_V \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $V = {(x,y,z) \in \RR^3 : y >= h/R \sqrt(x^2+z^2), 0 <= y <= h} $