come capire insieme integrazione integrali doppi e tripli

Messaggioda succodifrutta » 21/01/2020, 11:56

Buongiorno,

Vi chiedo aiuto su come capire su quali insiemi integrare quando ho l'unione di più insiemi (senza ricorrere al disegno).
Ad esempio il seguente integrale:
\(\int_A xy^2\ \text{d}x\ \text{d}y \)
con insieme di integrazione A=$ {(x,y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1, y ≤ x + 1} $
facendo il disegno noto che l'insieme A è unione di due sottoinsiemi, quindi calcolo l'integrale su uno, sull'altro e poi li sommo. Ma come faccio a capire a priori, senza fare il disegno, che l'insieme è costituito da 2 sottoinsiemi?

Grazie
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Re: come capire insieme integrazione integrali doppi e tripli

Messaggioda gugo82 » 21/01/2020, 15:36

Unione?

Che disegno hai fatto?
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Re: come capire insieme integrazione integrali doppi e tripli

Messaggioda succodifrutta » 21/01/2020, 17:56

Ho disegnato una circonferenza tagliata dalla retta $ x + 1 $ ho individuato il sottoinsieme A1 come quello compreso tra la semicircoferenza e y<0 e come A2 il sottoinsieme che comprende il resto.
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Re: come capire insieme integrazione integrali doppi e tripli

Messaggioda gugo82 » 21/01/2020, 21:24

L’insieme di integrazione è connesso, quindi non c’è un modo “naturale” di spezzarlo in un’unione.
Rappresentare tale insieme come unione di due o più pezzi dipende da come vuoi svolgere i calcoli.

Ad esempio, se svolgessi il conto in polari, converrebbe tenere insieme i tre quarti di cerchio e lasciare da parte il triangolo nel secondo quadrante.

Quindi la domanda è: come vuoi svolgere i calcoli?
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Re: come capire insieme integrazione integrali doppi e tripli

Messaggioda succodifrutta » 21/01/2020, 22:25

Ho paura che passando in polari vengano integrali troppo difficili da calcolare (in generale, non per forza in questo caso). Il mio professore di Analisi svolgeva questi esercizi nel modo che ho spiegato, cioè "spezzando" l'insieme di integrazione, ma ci arriva sempre dal disegno. Solo che con gli integrali tripli è un po' difficile fare il disegno del dominio. Potresti mandare lo svolgimento di come lo risolvere sti tu? Grazie
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Re: come capire insieme integrazione integrali doppi e tripli

Messaggioda Bokonon » 22/01/2020, 00:08

succodifrutta ha scritto:Ho paura che passando in polari vengano integrali troppo difficili da calcolare (in generale, non per forza in questo caso).

Ma perchè non ci provi?
Io per esempio farei in coordinate polari l'integrale per $-pi<theta<pi/2$ e $0<r<1$
Mentre farei l'altro integrale per $0<y<x+1$ e $-1<x<0$

Se non ci provi e scrivi qualcosa non saprai mai risolverlo. Continuare a fissarlo, serve a poco.
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