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Sotto consiglio di dissonance, interpreto $T_{u}(f)(x)$ come composizione degli operatori
$$S_{u}: C([0,1])\to C([0,1]),\ S_{u}(g)(x):=\frac{1}{u(x)}g(x)$$
e
$$V_{u}:C([0,1])\to C([0,1]),\ V_{u}(f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt$$
Nota a margine: formalmente nelle intestazioni \(S_{u}(g): C([0,1])\to C([0,1])\) e \(V_{u}(f):C([0,1])\to C([0,1])\) devo specificare l'argomento degli operatori? O forse dovrei scrivere meglio \(S_{u}: C([0,1])\to C([0,1])\) e \(V_{u}:C([0,1])\to C([0,1])\)? Oppure chissenefrega e ognuno fa quello che vuole?
[Edit] si veda la risposta di dissonance.
Dando per buono che $S_u(g)$ sia un operatore lineare limitato (non è difficile da dimostrare per $u(0)>0$, teorema di Weierstrass is the way), mi concentrerò sulla compattezza di $V_{u}(f)$.
Devo dimostrare che per ogni successione \(\{f_{n}\}_{n}\) limitata di funzioni \(f_n\in C([0,1])\), si ha che $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ ammette una sottosuccessione convergente.
Considero quindi una qualsiasi successione \(\{f_n\}_{n}\subset C([0,1])\) per la quale esiste \(M>0\) tale che
$||f_n||_{\infty}\le M, \forall n\in\mathbb{N}$
dopodiché dimostro che $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ è una successione uniformemente limitata: è una delle ipotesi del teorema di Ascoli-Arzelà.
$|V_{u}(f_n)(x)|=|\int_{0}^{x}f_n(t)u'(t)dt|\le\int_{0}^{x}|f_n(t)|u'(t)dt\le M\int_{0}^{x}u'(t)dt=$
da cui, calcolando l'integrale e usando la monotonia di $u$
$=M(u(x)-u(0))\le M(u(1)-u(0))$
pertanto $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ è una successione equilimitata da $M(u(1)-u(0))$, si noti infatti che il maggiorante non dipende da $n$.
La seconda ipotesi pretesa dagli amici Ascoli e Arzelà è che \(\{V_{u}(f_n)\}_{n}\) sia una successione uniformemente continua: $\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0$ tale che
$|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|<\epsilon$ con $|x-y|<\delta.$
Tentiamo!
$|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|=|\int_{0}^{x}f_{n}(t)u'(t)dt-\int_{0}^{y}f_n(t)u'(t)dt|=$
Senza perdita di generalità, poniamo $x>y$ e usiamo le proprietà degli integrali
$=|\int_{y}^{x}f_n(t)u'(t)dt|\le \int_{y}^{x}|f_n(t) u'(t)|dt\le M\int_{y}^{x}u'(t)dt $
La continuità di $u'$ sull'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$ garantisce che $||u'||_{\infty}<+\infty$, pertanto
$M\int_{y}^{x}u'(t)dt\le M ||u'||_{\infty}(x-y)$
e quindi (a parte la voglia di terminare la mia vita a causa del latex
)
\(|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|\le M ||u'||_{\infty}(x-y), \forall x>y\)
Da $M ||u'||_{\infty}(x-y)<\epsilon$ segue che $\delta=\frac{\epsilon}{M||u'||_{\infty}}$ (tralasciando il caso $M=0$ ai lettori più volenterosi di me!).
In teoria ho dimostrato che la successione $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ rispetta tutte le ipotesi del teorema di Ascoli-Arzelà, il quale garantisce che $\{V_{u}(f_n)\}_n$ ammette sottosuccessione convergente, per cui $V_{u}(f)$ è un operatore compatto.
Alcune osservazioni: se la dimostrazione è corretta, la condizione $u(0)=0$ non inficia in alcun modo la compattezza di $V_{u}(f)$, mentre compromette la limitatezza di $S_{u}(f)$, senza la quale non può essere usato il teorema suggerito da dissonance.
$$S_{u}: C([0,1])\to C([0,1]),\ S_{u}(g)(x):=\frac{1}{u(x)}g(x)$$
e
$$V_{u}:C([0,1])\to C([0,1]),\ V_{u}(f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt$$
Nota a margine: formalmente nelle intestazioni \(S_{u}(g): C([0,1])\to C([0,1])\) e \(V_{u}(f):C([0,1])\to C([0,1])\) devo specificare l'argomento degli operatori? O forse dovrei scrivere meglio \(S_{u}: C([0,1])\to C([0,1])\) e \(V_{u}:C([0,1])\to C([0,1])\)? Oppure chissenefrega e ognuno fa quello che vuole?
[Edit] si veda la risposta di dissonance.Dando per buono che $S_u(g)$ sia un operatore lineare limitato (non è difficile da dimostrare per $u(0)>0$, teorema di Weierstrass is the way), mi concentrerò sulla compattezza di $V_{u}(f)$.
Devo dimostrare che per ogni successione \(\{f_{n}\}_{n}\) limitata di funzioni \(f_n\in C([0,1])\), si ha che $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ ammette una sottosuccessione convergente.
Considero quindi una qualsiasi successione \(\{f_n\}_{n}\subset C([0,1])\) per la quale esiste \(M>0\) tale che
$||f_n||_{\infty}\le M, \forall n\in\mathbb{N}$
dopodiché dimostro che $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ è una successione uniformemente limitata: è una delle ipotesi del teorema di Ascoli-Arzelà.
$|V_{u}(f_n)(x)|=|\int_{0}^{x}f_n(t)u'(t)dt|\le\int_{0}^{x}|f_n(t)|u'(t)dt\le M\int_{0}^{x}u'(t)dt=$
da cui, calcolando l'integrale e usando la monotonia di $u$
$=M(u(x)-u(0))\le M(u(1)-u(0))$
pertanto $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ è una successione equilimitata da $M(u(1)-u(0))$, si noti infatti che il maggiorante non dipende da $n$.
La seconda ipotesi pretesa dagli amici Ascoli e Arzelà è che \(\{V_{u}(f_n)\}_{n}\) sia una successione uniformemente continua: $\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0$ tale che
$|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|<\epsilon$ con $|x-y|<\delta.$
Tentiamo!
$|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|=|\int_{0}^{x}f_{n}(t)u'(t)dt-\int_{0}^{y}f_n(t)u'(t)dt|=$
Senza perdita di generalità, poniamo $x>y$ e usiamo le proprietà degli integrali
$=|\int_{y}^{x}f_n(t)u'(t)dt|\le \int_{y}^{x}|f_n(t) u'(t)|dt\le M\int_{y}^{x}u'(t)dt $
La continuità di $u'$ sull'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$ garantisce che $||u'||_{\infty}<+\infty$, pertanto
$M\int_{y}^{x}u'(t)dt\le M ||u'||_{\infty}(x-y)$
e quindi (a parte la voglia di terminare la mia vita a causa del latex
)\(|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|\le M ||u'||_{\infty}(x-y), \forall x>y\)
Da $M ||u'||_{\infty}(x-y)<\epsilon$ segue che $\delta=\frac{\epsilon}{M||u'||_{\infty}}$ (tralasciando il caso $M=0$ ai lettori più volenterosi di me!).
In teoria ho dimostrato che la successione $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ rispetta tutte le ipotesi del teorema di Ascoli-Arzelà, il quale garantisce che $\{V_{u}(f_n)\}_n$ ammette sottosuccessione convergente, per cui $V_{u}(f)$ è un operatore compatto.
Alcune osservazioni: se la dimostrazione è corretta, la condizione $u(0)=0$ non inficia in alcun modo la compattezza di $V_{u}(f)$, mentre compromette la limitatezza di $S_{u}(f)$, senza la quale non può essere usato il teorema suggerito da dissonance.
Meno giri di parole sono meglio sia per il lettore sia per te. Anche il commento è corretto. 
Se devo essere sincero, sono un po' stremato adesso perché ho dovuto rileggere tutta la teoria che non ricordavo più. 