Calcolo del flusso

Messaggioda Uizui » 19/01/2020, 22:08

Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio :(
Calcolare il flusso del campo vettoriale
$ F(x,y,z) = (-4x^2(y^2+z^2),-8/3xy^3 -8xyz^2,8xz^3 +24xy^2z) $ attraverso il bordo dell'insieme $ \Omega ={(x,y,z) \in \mathbb(R)^3 : x^2 +y^2+z^2 \geq 3, 0<x\leq 3 -y^2-z^2 }$
il risultato è $ 32/3\pi$.
Io ho provato a usare il teorema della divergenza e, non so, forse ho sbagliato a parametrizzare la superficie, in ogni caso non riesco a farlo venire.
Grazie dell'attenzione
Uizui
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 12 di 12
Iscritto il: 04/11/2018, 14:13

Re: Calcolo del flusso

Messaggioda pilloeffe » 22/01/2020, 12:55

Ciao Uizui,

Per il teorema della divergenza si ha:

$\oint_{del\Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \text{d}S = \int_{\Omega} \text{div}\mathbf{F} \text{d}\Omega $

ove $\Omega = {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 \ge 3, 0 <x <= 3 - y^2 - z^2} $

Nel caso in esame si ha:

$ \text{div}\mathbf{F} = -8x(y^2 + z^2) - 8xy^2 - 8xz^2 + 24xz^2 + 24xy^2 = 8xy^2 + 8 xz^2 = 8x(y^2 + z^2) $

Mi pare conveniente passare alle coordinate cilindriche, ma con $y$ e $z$:

$\{(x = x),(y = \rho cos\theta),(z = \rho sin\theta):}$

Quindi $\rho^2 = y^2 + z^2 $, $ 0 < \sqrt{3 - \rho^2} <= x <= 3 - \rho^2 \implies 0 <= \rho <= sqrt{2}$ e $\theta \in [0, 2\pi) $ sicché si ha:

$ \int_{\Omega} \text{div}\mathbf{F} \text{d}\Omega = 8 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{sqrt{2}} \rho^3 \text{d}\rho \int_{sqrt{3 - \rho^2}}^{3 - \rho^2} x \text{d}x = 8\pi \int_0^{sqrt{2}} \rho^3 [x^2]_{sqrt{3 - \rho^2}}^{3 - \rho^2} \text{d}\rho = $
$ = 8\pi \int_0^{sqrt{2}} \rho^3 [(3 - \rho^2)^2 - (3 - \rho^2)] \text{d}\rho = ... = 32/3 \pi $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3497 di 3635
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 11 ospiti