Aiuto con i calcoli!
$ A_k = ( ( 3k^2+k-7 , 3k^2-10 , -4k^2-k+10 ),( -2 , k+1 , 2-k ),( 2k^2+k-6 , 2k^2+k-6 , -3k^2-2k+9 ) ) $ , con $ k in R $ variabile.
L'esercizio mi chiede: dopo aver provato che il $ det(A_k) = -k^5 - 4k^4 +3k^3 +21k^2-27 $
( cosa che ho fatto con la matrice A' = $ ( ( k+3 , 3k^2-10 , -k^2-k ),( 0 , k^2-3 , 0 ),( 0 , 2k^2+k-6 , -k^2-k+3 ) ) $ , ottenuta dalla prima (matrice simile?) per ridurre i calcoli) , sapendo che $ A_k $ ha sempre l'autovalore $ lambda _1 = 3-k-k^2 $ , determinare gli altri.
Ho provato con 3 diversi possibili modi di procedere dove però in tutti e tre non ne esco fuori con i calcoli:
so che il polinomio caratteristico della matrice $ A_k $ è $ (-1)^3((-1)^3 lambda^3 +(-1)^2tr(A_k) lambda^2 + (-1) c lambda +det(A_k)) $ (forma prediletta dal mio professore), cioè, $ lambda^3 -3 lambda^2 + c lambda + k^5+4k^4-3k^3-21k^2+27 $.
Dato che $ lambda_1 $ è radice del polinomio caratteristico : $ p_(A_k)(lambda_1)=0 $ , che mi permetterebbe di ricavare il coefficiente c e di conseguenza tutto il polinomio solo in funzione di k.
Ma c mi viene anch'esso in funzione di k , fratto e con numeratore di grado massimo 5.
Ho provato poi a risolvere il sistema date delle condizioni : $ { ( lambda_1 lambda_2 lambda_3=det(A_k)=-k^5-4k^4+3k^3+21k^2-27 ),( lambda_1 + lambda_2 + lambda_3 =tr(A_k) = 3 ):} $, con $ lambda _1 = 3-k-k^2 $. Ma anche qui non riesco a trovare fattorizzazioni per trovare i valori di $ lambda _2 $ e $ lambda _3 $.
Idem per il calcolo del determinante della matrice $ A'_k-lambda I_3 $ , dove ho usato la regola di Ruffini per fattorizzare il polinomio. Il polinomio di secondo grado mi determina però valori di $ lambda _2,lambda_3 $ irrazionali.
Sbirciando le soluzioni dell'esercizio dovrei trovare due valori di lambda distinti in funzione di k, non fratti nè irrazionali.
Per favore, potete provare voi a determinare $ lambda _2 , lambda _3 $ , riportando i calcoli fatti?!