Esercizio: ricerca di autovalori di una matrice con parametro

Messaggioda fedeing. » 21/01/2020, 18:14

Aiuto con i calcoli!

$ A_k = ( ( 3k^2+k-7 , 3k^2-10 , -4k^2-k+10 ),( -2 , k+1 , 2-k ),( 2k^2+k-6 , 2k^2+k-6 , -3k^2-2k+9 ) ) $ , con $ k in R $ variabile.
L'esercizio mi chiede: dopo aver provato che il $ det(A_k) = -k^5 - 4k^4 +3k^3 +21k^2-27 $
( cosa che ho fatto con la matrice A' = $ ( ( k+3 , 3k^2-10 , -k^2-k ),( 0 , k^2-3 , 0 ),( 0 , 2k^2+k-6 , -k^2-k+3 ) ) $ , ottenuta dalla prima (matrice simile?) per ridurre i calcoli) , sapendo che $ A_k $ ha sempre l'autovalore $ lambda _1 = 3-k-k^2 $ , determinare gli altri.

Ho provato con 3 diversi possibili modi di procedere dove però in tutti e tre non ne esco fuori con i calcoli:
so che il polinomio caratteristico della matrice $ A_k $ è $ (-1)^3((-1)^3 lambda^3 +(-1)^2tr(A_k) lambda^2 + (-1) c lambda +det(A_k)) $ (forma prediletta dal mio professore), cioè, $ lambda^3 -3 lambda^2 + c lambda + k^5+4k^4-3k^3-21k^2+27 $.
Dato che $ lambda_1 $ è radice del polinomio caratteristico : $ p_(A_k)(lambda_1)=0 $ , che mi permetterebbe di ricavare il coefficiente c e di conseguenza tutto il polinomio solo in funzione di k.
Ma c mi viene anch'esso in funzione di k , fratto e con numeratore di grado massimo 5.
Ho provato poi a risolvere il sistema date delle condizioni : $ { ( lambda_1 lambda_2 lambda_3=det(A_k)=-k^5-4k^4+3k^3+21k^2-27 ),( lambda_1 + lambda_2 + lambda_3 =tr(A_k) = 3 ):} $, con $ lambda _1 = 3-k-k^2 $. Ma anche qui non riesco a trovare fattorizzazioni per trovare i valori di $ lambda _2 $ e $ lambda _3 $.
Idem per il calcolo del determinante della matrice $ A'_k-lambda I_3 $ , dove ho usato la regola di Ruffini per fattorizzare il polinomio. Il polinomio di secondo grado mi determina però valori di $ lambda _2,lambda_3 $ irrazionali.
Sbirciando le soluzioni dell'esercizio dovrei trovare due valori di lambda distinti in funzione di k, non fratti nè irrazionali.
Per favore, potete provare voi a determinare $ lambda _2 , lambda _3 $ , riportando i calcoli fatti?!
fedeing.
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 29 di 34
Iscritto il: 15/06/2016, 16:59

Re: Esercizio: ricerca di autovalori di una matrice con parametro

Messaggioda Bokonon » 21/01/2020, 21:34

Ti sei solo cotto le meningi con i conti (a me succede perlomeno) per calcolare il determinante (io mi sarei rifiutato di farlo anche durante un compito...non ne vedo l'utilità).
Domani, a mente fresca, dividerai il determinante per $lambda_1$ e troverai che:
$lambda_2*lambda_3=k^3+3k^2-3k-9=(k+3)(k^2-3)$
e che $lambda_2+lambda_3=k+k^2$
A questo punto vedrai ad occhio nudo le soluzioni senza fare altri calcoli.

P.S. Sempre domani realizzerai quanto eri cotto per aver scritto che $A'_k$ e $A_k$ sono simili :wink:
Avatar utente
Bokonon
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1964 di 2089
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Esercizio: ricerca di autovalori di una matrice con parametro

Messaggioda fedeing. » 22/01/2020, 12:16

Vero! Grazie. Dividere in colonna il determinante per il primo autovalore e fattorizzare il quoziente con raccoglimento parziale in 5 minuti netti e con una sola equazione trovi gli altri. Grazie ancora.
Per curiosità: gli autovalori della matrice $ A_k $ ottenuti $ lambda _1 = -k^2 - k +3 $ ,$ lambda _2 = k+3 $ , $ lambda _3 = k^2-3 $ sono quindi gli elementi posti sulla diagonale principale della "mia" matrice $ A'_k $. Pura coincidenza? Se non ricordo male è la matrice diagonale ottenuta dalla diagonalizzazione di una matrice diagonabile ad avere autovalori sulla diagonale principale. Si, ma con il resto degli elementi posti non sulla diagonale principale nulli (anche per definizione di matrice diagonale).
A questo punto stamani mi sento più cotto di ieri sera. La matrice $ A'_k $ che cos'è?
fedeing.
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 30 di 34
Iscritto il: 15/06/2016, 16:59

Re: Esercizio: ricerca di autovalori di una matrice con parametro

Messaggioda Bokonon » 22/01/2020, 14:29

Non ho idea delle operazioni che hai fatto per arrivare a quella matrice ma colgo l'occasione per dirti cosa avrei fatto io...perchè ci servirà dopo.
Avrei selezionato come pivot il $-2$: anche se nello specificoè utile solo per semplificare i calcoli, in linea generale non vorrai usare un pivot con un parametro a meno che tu non sia costretto a farlo, perchè dovresti tenere conto del fatto che potresti dividere per zero.
Avrei quindi effettuato la trasfomazione $ B=( ( 1 , 1/2alpha , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1/2beta , 1 ) ) $
Dove $alpha=3k^2+k-7$ e $beta=2k^2+k-6$. Nella sostanza faccio $BA_k=A'_k$
$A'_k$ avrà la prima colonna $(0,-2, 0)$ (il resto non ci importa) e poi potrò calcolare il determinante per colonna. Dato che $det(B)=1$ avrò che $det(BA_k)=det(B)det(A_k)=det(A_k)=det(A'_k)$ quindi la trasfomazione non inciderà sul determinante.

E ora passiamo alla definizione di matrice simile. Se esiste un cambio di base S tale $SAS^(-1)=B$ allora A e B si dicono simili. I dettagli generali li trovi anche su Wiki: ciò che mi preme ora enfatizzare è che se prendiamo B in campo reale e diagonalizzabile allora anche A lo è. Inoltre avranno la stessa matrice diagonale.
Il senso è che se posso cambiare la base di B e diagonalizzarla, allora potrò sempre trovare un diverso cambio di base per diagonalizzare A.

Ora compariamo $BA_k=A'_k$ e $SAS^(-1)=B$.
La prima è una semplice trasformazione, la seconda è un cambio di base effettivo per cui $SA=BA$
Se $A_k$ e $A'_k$ fossero simili allora dovrebbe essere vero che $BA_k=A'_kB$
Se A fosse la matrice identità sarebbe vero ma in generale non lo è.
Se si applica una trasfomazione (non un cambio di base!) ad una matrice, nel 99,9999999999% dei casi le due matrici non saranno simili.

Potranno persino avere il medesimo determinante (come in questo caso) e la medesima traccia ma questo non significa che abbiano gli stessi autovalori (puoi provare a trovare un esempio, ora devo scappare!)
Avatar utente
Bokonon
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1967 di 2089
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Esercizio: ricerca di autovalori di una matrice con parametro

Messaggioda fedeing. » 22/01/2020, 16:01

Ok, tutto chiaro. La trasformata $ A'_k $ (la prima colonna con se stessa meno la seconda; la seconda riga con se stessa più la prima; la seconda riga con se stessa meno la terza; la terza colonna con se stessa più la seconda) (o anche quella che hai trovato te $ B A_k $ ) non è simile alla matrice $ A_k $ (almeno a priori); esse hanno stesso determinante (anche in segno perchè ho fatto numero pari di "sostituzioni gaussiane") e stessa traccia ma quasi sempre diversi autovalori (perchè polinomio caratteristico solo invariante per similitudine). Spero di aver capito giusto. Grazie mille Bokonon, buona giornata.
fedeing.
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 31 di 34
Iscritto il: 15/06/2016, 16:59


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 11 ospiti