Tre domande su un pendolo composto

[anonymous_b7df6f]

Ciao a tutti, qualche domanda su un pendolo composto.

Caso trattato

Supponiamo di avere un'asta omogenea di massa $M$ e lunghezza $4R$ al cui estremo è saldato un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $R$.
Il corpo è disposto su una parete verticale.
Un estremo dell'asta è vincolato ad un perno ideale in $A$.
Chiedo scusa per le mie pessime capacità raffigurative:





Il corpo è disposto inizialmente lungo l'orizzontale passante per $A$ grazie ad una forza che lo tiene in tale posizione, e, ad un certo istante, viene lasciato cadere.
Sia $alpha$ l'angolo che l'asta forma con l'orizzontale passante per $A$.
Sia $I_A$ il momento d'inerzia dell'intero corpo rispetto all'asse passante per $A$.
Si trascuri l'attrito dell'aria.

Tre Domande:

1) E' possibile scrivere la seconda cardinale utilizzando come angolo $alpha$, anzichè definire un angolo $vartheta$?
(L'angolo $vartheta$ è il classico angolo utilizzato nello studio dei pendoli che è maggiore di zero quando il pendolo si trova a destra della verticale e minore di zero quando il pendolo si trova a sinistra della verticale o viceversa).
In caso affermativo, potreste mostrarmi come fareste?

2) Per stabilire la frequenza di oscillazione del pendolo composto, è corretto se scrivo la seconda cardinale in $A$ e prendo come frequenza la radice del termine che moltiplica la variabile posizionale? Mi spiego meglio:

Prendendo l'angolo $vartheta$ di cui parlavo prima, definito crescente in senso antiorario e uguale a zero quando il centro di massa si trova lungo la verticale, scrivo la seconda cardinale in $A$:

$I_A vartheta= 2RMgsin(vartheta) + 5Rmgsin(vartheta)$

$rArr vartheta = (Rg(2M+5m))/I_A sin(vartheta)$

Mi confermate che la frequenza di oscillazione $omega$ è uguale a :

$omega = sqrt((Rg(2M+5m))/I_A)$

?

3) Se volessi scrivere l'energia potenziale gravitazionale $U$ del corpo prendendo come zero dell'energia l'asse orizzontale passante per $A$, io scriverei

$text(massa totale del sistema * g * altezza centro di massa)$

mi confermate che sarebbe altettanto corretto spezzare il termine nell'energia dell'asta più energia del disco, ovvero:

$U= -Mg2Rsin(alpha) -mg5Rsin(alpha)$

Grazie mille in anticipo!

[Shackle]

1) E' possibile scrivere la seconda cardinale utilizzando come angolo α, anzichè definire un angolo ϑ?

Certo, i due angoli differiscono per una costante : $ alpha - theta = \pi/2 $

Il momento angolare rispetto ad A vale : $I_A * dot\theta$ , cioè ci va la velocità angolare, non l’angolo! Quindi $dot\alpha = dot\theta$ , no ?

In base ai dati , i momenti di inerzia del disco e dell’asta , rispetto ad A , sono :

$I_d = 1/2mR^2 + m(5R)^2 $

$I_a = 1/3M(4R)^2 $

Quindi : $I _A = I_d + I_a$

Il CM del corpo si trova alla distanza da A , da Ds verso Sn, data da : $ x_(CM) = (M*2R + m*5R)/(M+m) $.

Il momento della forza peso applicata in CM , rispetto ad A , produce variazione del momento angolare , quindi accelerazione angolare, secondo la 2º eq cardinale della dinamica.
Rivedi i tuoi conti. POI passi al calcolo della frequenza di oscillazione, con l’ipotesi di piccoli angoli. Devi avere innanzitutto questa eq differenziale :

$I_A ddottheta = -(m+M) *g*x_(CM)* sentheta $

[anonymous_b7df6f]

Il momento angolare rispetto ad A vale : $I_A * dot\theta$ , cioè ci va la velocità angolare, non l’angolo! Quindi $dot\alpha = dot\theta$ , no ?

Esatto, $ddot(vartheta) = ddot(alpha)$
Tuttavia il termine a destra della seconda equazione cardinale, dove ci sarà il seno, non cambierà? L'argomento sarà diverso immagino.

Il momento della forza peso applicata in CM , rispetto ad A , produce variazione del momento angolare , quindi accelerazione angolare, secondo la 2º eq cardinale della dinamica.

Calcolare la risultante delle forze sul centro di massa o le singole forze peso applicate ai due corpi non è equivalente?

Rivedi i tuoi conti. POI passi al calcolo della frequenza di oscillazione, con l’ipotesi di piccoli angoli. Devi avere innanzitutto questa eq differenziale :

$I_A ddottheta = -(m+M) *g*x_(CM)* sentheta $

Io ho considerato il caso in cui il corpo si trovi a sinistra della verticale. Considerando $vartheta$ crescente in senso antiorario, le due forze peso dei due corpi mi causano un momento positivo.
E' questo il motivo per cui non ho un meno. Ho sbagliato qualcosa?

[Shackle]

Esatto, $ddot(vartheta) = ddot(alpha)$
Tuttavia il termine a destra della seconda equazione cardinale, dove ci sarà il seno, non cambierà? L'argomento sarà diverso immagino.

Una volta che hai constatato che $dotalpha = dot theta $ e quindi $ddot(vartheta) = ddot(alpha)$, perchè vuoi continuare a usare $alpha$ ? In definitiva, le "piccole oscillazioni” ce l’hai rispetto alla verticale discendente, no ? Quindi che ti importa di $alpha$ ? Usa $theta$ !

Calcolare la risultante delle forze sul centro di massa o le singole forze peso applicate ai due corpi non è equivalente?

Si, è equivalente, ma perché fare cosi? Sei di quegli studenti che amano complicarsi la vita, anziché semplificarsela? Da altri tuoi 3D mi sembra proprio di sì. SE poi ti chiedo la “ lunghezza ridotta del pendolo composto” che mi dici ? Segui la strada più semplice, se puoi !

Io ho considerato il caso in cui il corpo si trovi a sinistra della verticale. Considerando $vartheta$ crescente in senso antiorario, le due forze peso dei due corpi mi causano un momento positivo.
E' questo il motivo per cui non ho un meno. Ho sbagliato qualcosa?

L’accelerazione è discorde allo spostamento, perciò ci va quel segno “ $-$ “ , come nell’oscillatore armonico :

$F = - kx $

indipendentemente dalla posizione iniziale rispetto alla verticale. L’accelerazione è diretta sempre verso il centro del moto, nell’oscillatore armonico.

[anonymous_b7df6f]

... SE poi ti chiedo la “ lunghezza ridotta del pendolo composto” che mi dici ? Segui la strada più semplice, se puoi !

Sì, in effetti..

...

indipendentemente dalla posizione iniziale rispetto alla verticale. L’accelerazione è diretta sempre verso il centro del moto, nell’oscillatore armonico.

Giusto, è sbagliato ciò che ho scritto.

Tornando al punto 2, riporto la seconda cardinale corretta da te scritta:

$I_A ddottheta = -(m+M) *g*x_(CM)* sentheta $


Mi confermi che la frequenza di oscillazione $omega$ è uguale a :

$omega = sqrt( ((-m+M) *g*x_(CM))/I_A)$

?

O, equivalentemente,

$omega = sqrt( ((Rg(2M+5m)))/I_A)$

?

Dai un occhio anche al punto numero 3 se ti va!

[Shackle]

.........
Mi confermi che la frequenza di oscillazione $omega$ è uguale a :

$omega = sqrt( ((-m+M) *g*x_(CM))/I_A)$ ?

La frequenza è :

$omega = sqrt( ((m+M) *g*x_(CM))/I_A)$

Ovvero, sostituendo il valore di $x_(CM) $ :

$omega = sqrt ((Rg(2M+5m))/I_A)$

Dai un occhio anche al punto numero 3 se ti va!

Va bene, puoi dividere in due parti la variazione di $E_p$. Non capisco però che te ne fai così. Se per esempio vuoi trovare la velocità del CM quando $alpha=\pi/2$ , devi applicare la conservazione dell’energia mettendo in conto anche la variazione dell’energia cinetica.

[anonymous_b7df6f]

Va bene, puoi dividere in due parti la variazione di $E_p$. Non capisco però che te ne fai così. Se per esempio vuoi trovare la velocità del CM quando $alpha=\pi/2$ , devi applicare la conservazione dell’energia mettendo in conto anche la variazione dell’energia cinetica.

Ci tenevo a saperlo perché in alcuni esercizi bisogna calcolare variazione di energia potenziale per ottenere dei risultati precisi, e calcolare il centro di massa per sistemi più complessi di quello proposto può risultare particolarmente rognoso se si ha pochissimo tempo durante il compito.

Ad ogni modo, ti ringrazio per la correzione della frequenza (sbadata come sempre, avevo messo un meno di troppo), e per la precisazione sull'energia potenziale.

Dai un occhio anche a questo post se ti va!

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8448684