Salve a tutti, ho questi quesiti:
1) Sia data l'equazione differenziale \(\displaystyle y''+4y'+3y=0 \). E' vero che:
a) ha soluzioni illimitate superiormente su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
b) tutte le soluzioni sono limitate su \(\displaystyle (- \infty, 0) \)
c) ha soluzioni non costanti e limitate su \(\displaystyle \mathbb{R} \)
d) tutte le soluzioni sono limitate su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
e) tutte le soluzioni sono limitate su \(\displaystyle \mathbb{R} \)
In questo quesito la risposta esatta è la d) tuttavia non capisco per quale motivo dato che la soluzione dell'omogenea è \(\displaystyle c_1 e^{-3t} +c_2 e^{-t} \) e scegliendo \(\displaystyle c_1 \), \(\displaystyle c_2 < 0 \) per \(\displaystyle t \to -\infty \) le soluzioni tendono a \(\displaystyle -\infty \)
2)Sia data l'equazione differenziale \(\displaystyle y'' +2y' -8y=0 \)
a) tutte le soluzioni sono limitate inferiormente su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
b) l'equazione ha soluzioni non costanti e limitate su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
c) tutte le sue soluzioni sono limitate superiormente su \(\displaystyle (0, +\infty) \)
d) tutte le sue soluzioni non costanti sono illimitate su \(\displaystyle (- \infty, 0) \)
e) tutte le sue soluzioni sono limitate su \(\displaystyle (- \infty, 0) \)
La risposta esatta è la b). Mi chiedo perchè, dato che qui la soluzione dell'omogenea è \(\displaystyle c_1 e^{-4 t} + c_2 e^{2t} \) e posto \(\displaystyle c_2 = 0 \) e \(\displaystyle c_1 <0 \) per \(\displaystyle t \to -\infty \) la soluzione tende a \(\displaystyle -\infty \).
Vi ringrazio in anticipo!