Dubbio su spazi vettoriali

Messaggioda Roxy98 » 22/01/2020, 20:23

Salve, sto preparando l'esame di algebra lineare tuttavia spesso non è facile conciliare la teoria con gli esercizi. Di conseguenza mi trovo a dover sperare in una risposta su questo forum :oops: .
Vengo al dunque
si definiscano in $R^3$ i seguenti vettori
$u1=(sqrt(2)),-sqrt(2)),0) u2=(1,0,-1) u3= (0,-1,1)$
Determinare una base di $U=<u1,u2,u3>$ allora ho scritto i vettori per riga in una matrice e calcolandone il rango che è due determino che la $dim(U)=2$ e quindi per definizione prendo i primi due vettori della matrice che sono linearmente indipendenti ed essa sarà la base giusto?
adesso mi chiede di fare la stessa cosa con
${(X,Y,Z)€R^3 : X+2Y-Z=0,-2X-4Y+2Z=0}$
Ho disposto nuovamente per riga ed ho trovato la dim cioè n-rango=2
Quindi la base di $W$ è $w1(-1,1-0)$ $w2(1,0,1)$. Adesso mi sono bloccata, mi chiede di calcolare la dim(u+w) e stabilire se è somma diretta come faccio?
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Re: Dubbio su spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 22/01/2020, 21:50

Roxy98 ha scritto:determino che la $dim(U)=2$ e quindi per definizione prendo i primi due vettori della matrice che sono linearmente indipendenti ed essa sarà la base giusto?


La dimensione è corretta (e si notava a colpo d'occhio che $sqrt(2)u_2+sqrt(2)u_3=u_1$) ma nessuna "definizione" ti obbliga a prendere $u_1$ e $u_2$. Ovviamente vanno bene ma, se proprio volessi quei due, io prenderei $1/sqrt(2)u_1$ perchè la cosa importante è lo span e quindi la direzione resta la stessa...ma senza radici.
Ancora più semplice è prendere come base $u_2$ e $u_3$.
Da qualsiasi base tu scelga, otterrai il medesimo piano in equazione cartesiana.

Roxy98 ha scritto:adesso mi chiede di fare la stessa cosa con
${(X,Y,Z)€R^3 : X+2Y-Z=0,-2X-4Y+2Z=0}$
Ho disposto nuovamente per riga ed ho trovato la dim cioè n-rango=2
Quindi la base di $W$ è $w1(-1,1-0)$ $w2(1,0,1)$.

Non è LA base ma UNA possibile base e $w_1$ è sbagliato, forse volevi scrivere $w_1=(-1,1,1)$
Parliamo di W. Si nota subito che il secondo i due piani sono il medesimo piano (la seconda equazione è la prima moltiplicata per $-2$), quindi ha dimensione due.
Fossero state due equazioni diverse allora W sarebbe stato l'intersezione di due piani passanti per l'origine, ovvero una retta. E questo ci porta all'ultimo punto...

Roxy98 ha scritto:Adesso mi sono bloccata, mi chiede di calcolare la dim(u+w) e stabilire se è somma diretta come faccio?

U e V sono due piani passanti per l'origine in $RR^3$, quindi si devono intersecare. E la loro intersezione è il sistema fra le due equazioni cartesiane dei due piani, quindi una retta.
Per Grassman abbiamo che $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(UnnW)=2+2-1=3$

Più prosaicamente, se metti in una matrice i 4 vettori delle due basi, puoi ricavarne 3 indipendenti che generano tutto $RR^3$.
Si può intuire che non sono in somma diretta perchè implicherebbe che $dim(UnnW)=0$.
Possono 4 vettori di $RR^3$ creare uno spazio di dimensione più grande di quello che li contiene?
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Re: Dubbio su spazi vettoriali

Messaggioda Roxy98 » 22/01/2020, 23:33

Wow è tutto chiarissimo, grazie mille per l'illuminazione.
Se posso disturbare ancora non capisco come si risolva questo tipo di esercizio:
Definiti in $R^3$ i seguenti vettori:
$v_1=(1,1,-1)$ $v_2=(1,-1,1)$ $v_3=(-1,1,1)$
$w_1=(0,0,3)$ $w_2=(-2,-2,-3)$ $w_3=(2,2,1)$
.-Stabilire che esista un solo operatore lineare tale che $F(v1)=w1$ $F(v2)=w2$ $F(v3)=w3$
.- Determinare la matrice associata ad F rispetto alla base canonica di $R^3$
.-Stabilire se F è iniettivo e se suriettivo.
.- Stabilire se l'operatore lineare F è diagonalizzabile
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Re: Dubbio su spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 23/01/2020, 10:18

Due cose Roxy98. Dovresti fare uno sforzo e dovresti aprire un nuovo thread per ogni esercizio.

Un'applicazione è ben definita quando manda una base dello spazio di partenza nell'immagine.
Restando in $RR^3$, di applicazioni A di cui sappiamo solo che $A(e_1)=b_1$ ce ne sono infinite.
Di applicazioni $A*[e_1,e_2,e_3]=A=[b_1, b_2,b_3]=B$ ce n'è una sola...B stessa.

Abbiamo $FV=W$ ed è risolvibile in modo unico se $F=WV^(-1)$, perciò $ V=( ( 1 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ) ) $ deve avere come colonne una base di $RR^3$. Per far vedere che i tre vettori sono indipendenti, possiamo mostrare che il rango è massimo o che $det(V)!=0$

Per il secondo punto, cerchiamo $F(e_1)$, $F(e_2)$ e $F(e_3)$ ovvero le tre colonne ordinate che formano F.
$ v_1=( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) )=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) - ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =e_1+e_2-e_3 $
Da cui $F(v_1)=F(e_1+e_2-e_3)=F(e_1)+F(e_2)-F(e_3)=w_1$
Ricava le altre due equazioni e risolvi il sistema.
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