Esercizio relatività

Messaggioda dRic » 22/01/2020, 15:05

Ciao, è da poco che ho deciso di approcciarmi allo studio della RS. On-line mi sono imbattuto in questo esercizio che mi sta dando parecchi grattacapi:

Dimostra che se $U^{\mu} U_{\mu}$ è una costante allora
$\frac {dU^1dU^2dU^3} {U_0}$
è un invariante relativistico.

Ho provato un po' a giochicchiare con l'algebra, ma non sono giunto a nulla di rilevante. Qualcuno avrebbe qualche suggerimento per incanalarmi sulla giusta strada ?

Grazie.

PS: inoltre sono confuso perché il testo dell'esercizio riporta il denominatore come covariante, mentre in altri testi che ho trovato è riportate come controvariante. E' un errore di stampa ?
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda Shackle » 22/01/2020, 16:14

Chi è $U^\mu$ ? La quadrivelocità di una particella ? cioè :

$U^\mu = (gammac , gammavecu) $ , scritta per componenti ?

E quindi $U^\mu U_\mu $ è la norma della 4-velocità : $U^\mu U_\mu = (gammac)^2 - (gamma vecu)^2 = c^2$, come puoi vedere direttamente applicando la regola, oppure calcolando per componenti il prodotto tensoriale, con la metrica di Minkowski. Qui la segnatura è $ (+,-,-,-)$ devi “abbassare” le componenti spaziali con la metrica $\eta_(munu) $ per trovare le componenti covarianti .

MA non ha proprio senso la domanda, per me; cioè “se... allora “ ; infatti la quantità $U^\mu U_\mu $ è gia di per se un invariante relativistico , è la norma di un 4-vettore , e potrebbe essere un qualunque 4-vettore nello ST di Minkowski , per esempio un 4-impulso: la norma è invariante , non ci sono “se” e “ma” , l’indice è saturato.

Quindi il problema per me non si pone.

Comunque al denominatore ci andrebbe la $U^0$ . Ma con la segnatura adottata le due componenti co- e controvarianti sono uguali , non cambia il segno, cambia il concetto...
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda dRic » 22/01/2020, 19:05

Ciao Shakle. Per come l'ho intesa io $u$ è un quadrivettore generico. Il problema ti chiede, "se questo quadrivettore ha la proprietà di avere un modulo costante... Allora segue....". Io l'ho intesa così.

Comunque questo esercizio l'ho beccato girovagando su internet mentre cercavo una dimostrazione che $\frac {d^3 p} {p^0}$ è un invariante relativistico (dove con p intendo il quadrimpulso).

Ho trovato una dimostrazione carina dove però si fanno i calcoli in maniera esplicita e controllando che effettivamente era un invariante. Però speravo in qualcosa di più generico così, cercando ancora, mi sono imbattuto in un libro "relativistc hydrodynamics" in cui la dimostrazione veniva lasciata al lettore, affermando che era una diretta conseguenza dell'esercizio di sopra riportato.

Spero di aver fatto chiarezza.
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda Shackle » 22/01/2020, 19:18

Ho trovato una dimostrazione carina dove però si fanno i calcoli in maniera esplicita e controllando che effettivamente era un invariante


Faccela vedere, cosí noi ignoranti impariamo qualcosa, dai :oops: :? :D !
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda dRic » 22/01/2020, 21:31

Dovrebbe star considerando un sistema di riferimento che si muove con velocità $v$ lungo l'asse $x$.
Immagine

PS: tra l'altro essendo $p^{\mu}p_{\mu}$ la massa (che è una costante ed è pure un invariante, ma correggimi se sbaglio perché ho iniziato a studiare SR da pochi giorni) le ipotesi dell'esercizio che avevo proposto sono rispettate.
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda Shackle » 23/01/2020, 00:43

Si, $p^\mup_\mu$ è la norma del 4-impulso , quindi è uguale alla massa ( al quadrato) a meno del fattore $c$ , ed è invariante, come si vede dalla normalizzazione. Nel foglio che hai allegato, le 18, 19, 20 sono le trasformazioni di Lorentz applicate a $dp^\mu$ , la prima è la trasformazione della componente temporale , le altre tre sono le trasformazioni delle componenti spaziali; il moto è lungo l’asse $x$ , infatti le componenti lungo $y$ e $z$ non cambiano.
Ma non so in quale contesto va inquadrato il risultato.
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda dRic » 23/01/2020, 01:58

Shackle ha scritto:
Ma non so in quale contesto va inquadrato il risultato.

Non capisco. E' un esercizio. Ti chiede di dire se quel differenziale è un invariante relativistico. Se ti chiedi dove ho preso quei calcoli: scrivendo su google "invaraince of $d^3p$ " dopo un pomeriggio ho trovato questo paper su una funzione di distribuzione (meccanica statistica) relativistica
https://arxiv.org/pdf/0707.2499.pdf
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda ZerOmega » 23/01/2020, 06:46

Il senso è che se la distanza, intesa come norma del quadrivettore, è invariante allora è invariante anche la sua misura relativa che per intenderci è sostanzialmente il volume tridimensionale o meglio l'elemento infinitesimo relativo (appunto la misura)
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda dRic » 23/01/2020, 15:24

@ZerOmega potresti, se hai tempo, approfondire il tuo commento o linkare qualche resource perché non l'ho capito molto. Intanto non capisco bene il significato di "misura relativa" e perché sembra essere definito come la parte spaziale del quadrivettore "normalizzata" secondo la componente temporale (questo è quello che mi sembra). Non capisco il collegamento. Non trovo nemmeno il collegamento (intuitivo) tra l'invarianza del modulo e l'invarianza di questa "misura relativa".

Inoltre già che ci sono, sarei grato se mi aiutaste a chiarire il passaggio (25), (26) e successivi. Sembra che l'autore abbia fatto un prodotto "vettoriale" considerando $dp^x$, $dp^y$ e $dp^z$ ortogonali. E' corretto ?
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Re: Esercizio relatività

Messaggioda Shackle » 23/01/2020, 17:17

Freniamo un momento, ragazzi.

In relatività speciale ( ma anche “localmente” in RG , dove in un riferimento inerziale locale vale la RR ) la norma di un quadrivettore è invariante ; lo spaziotempo è quello piatto di Minkowski, la metrica è $eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1) $ ( coord. cartesiane per lo spazio) . Ci siamo ? Copio e incollo da un vecchio post questo :

Faccio un brevissimo cenno a come si fa il prodotto scalare tra due quadrivettori $A^\mu$ e $B^\nu$ nello spaziotempo piatto della RR , dotato della metrica di Minkowski in coordinate pseudo-euclidee $\eta_(\mu\nu) = diag (1,-1,-1,-1)$ (il primo è il componente temporale, gli altri tre sono spaziali).
In componenti, i due quadrivettori sono : $A^\mu = (A^0,A^1,A^2,A^3) $ , e $ B^\nu = (B^0,B^1,B^2,B^3) $ .

Il prodotto scalare si esegue, tenendo presente che il tensore metrico è diagonale e occorre sommare su indici ripetuti di co- e contro- varianza (convenzione di Einstein), con la formula :

$vecA*vecB = \eta _(\mu\nu) A^\muB^\nu = \eta_(00)A^0B^0 + \eta_(11)A^1B^1 + \eta_(22)A^2B^2 + \eta_(33)A^3B^3 = +A^0B^0 - A^1B^1 - A^2B^2 - A^3B^3 $ .
Alla stessa maniera si trova la norma di un quadrivettore dato . La norma in questo modo può risultare positiva, e allora il 4-vettore è di tipo tempo; nulla, e allora il 4-vettore è di tipo luce ; negativa, e allora il 4-vettore è di tipo spazio.
Questo perché la metrica non è euclidea ma pseudo euclidea.
Alcuni adottano la convenzione opposta per la segnatura della metrica.


Quindi per me l’ipotesi “ se la norma di un 4-vettore è invariante....” non sussiste proprio. La norma di un 4-vettore è invariante, punto e basta!

La questione sollevata da chi ha scritto l’articolo è diversa, credo , ed ha a che fare con la trasformazione della funzione di distribuzione, come spiegato asciuttamente ma chiaramente nelle pagine del Landau- Lifschitz che allego :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine
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Ci siamo fin qui ? Detto nelle mie povere parole, e semplificando al massimo il concetto : dato un volume $V$ in un certo riferimento, che contiene un certo numero di particelle $N$ tutte solidali con V e quindi in quiete rispetto a V , se si osserva il volume da un riferimento in moto relativo rispetto a quello dato esso apparirà contratto nella direzione del moto relativo :

$V’ = V/\gamma$

e il motivo è molto semplice : supponiamo che il volume sia un cubo di lato $L$ , messo con uno spigolo sull’asse $x$ di un OI . Se il cubo è in moto relativo rispetto ad un altro osservatore inerziale O’ nella direzione di $x$ , la lunghezza $L$ dello spigolo risulta contratta rispetto a questo osservatore. Quindi $L’ = L/\gamma$ . Quindi il volume del cubo, rispetto a O’ , risulta contratto per lo stesso fattore $1/\gamma$ . E’ chiaro ?

Ma il numero di particelle contenuto nel cubo è sempre lo stesso , quindi rispetto a O’ la densità delle particelle , intesa come rapporto tra $N$ e il volume, è maggiore per l’OI rispetto al quale il cubo è in moto , essendo il volume più piccolo :

$rho’*V’ = rho*V = N $

Questo vuol dire, in definitiva , il Landau. Insomma, il numero delle particelle non cambia, e quindi è invariante anche la “funzione di distribuzione” nello spazio delle fasi, se proprio vogliamo fare i difficili . Ma lasciamo a Landau il ruolo di “difficile” .

La conservazione del “numero di particelle” per volume dato è alla base del concetto di tensore energia-impulso, e della divergenza tensoriale identicamente nulla di questo tensore.
Ecco che ora sto facendo io il difficile... :-D
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