Integrale doppio Analisi 2

Messaggioda ggffgg4 » 14/01/2020, 22:35

Ciao a tutti, ho un problemino con un esercizio nel quale dovrei applicare il teorema di Stokes e calcolare l'integrale del rotore di un campo vettoriale.

La superficie attraverso la quale calcolare il flusso del rotore è:
$\Sigma: z=frac{1}{3}(2-x-3y), $ $(x,y)\inD={(x,y):(x-1)^2+4y^2<=4}$
Il campo vettoriale è $F=(y^2+z^2, 3xy+2z, 2xz+3yz)$
A questo punto viene calcolata la normale $N=\frac{(1,3,3)}{\sqrt(19)}$ e il rotore di F: $rotF=(3z-2,0,y)$
quindi $rotF\cdotN=\frac{(3z-2)+3y}{\sqrt(19)}=-\frac{x}{\sqrt(19)}$

Quindi calcolo $int int_SigmarotF\cdotNdsigma=-\frac{1}{\sqrt(19)} $$int int_Sigmaxdsigma=-\frac{1}{3}int int_Dxdxdy$
Io non ho capito l'ultimo passaggio, da dove è uscito il 3??
Grazie per l'aiuto.
ggffgg4
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Re: Integrale doppio Analisi 2

Messaggioda pilloeffe » 17/01/2020, 19:24

Ciao ggffgg4,

Posto $z = g(x, y) = frac{1}{3}(2-x-3y) = 2/3 - 1/3 x - y $ si ha:

$\Sigma = \sigma(D) $ ove $\sigma: D \to \RR^3 $ è definita nel modo seguente:

$\sigma(x, y) = (x, y, g(x, y)) = (x, y, frac{1}{3}(2-x-3y)) $

e $N = N(x,y) = (\del\sigma)/(\del x) \times (\del\sigma)/(\del y) = (- (\del g)/(\del x), - (\del g)/(\del y), 1) = (1/3, 1, 1) $

Quindi $ \text{rot} F \cdot n = \text{rot}F \cdot (N(x,y))/||N(x, y)|| = (z - 2/3 + y)/sqrt{19/9} = - 1/3 x/sqrt{19/9} $ e si ha:

$\int \int_Sigma \text{rot}F \cdot n \text{d}\sigma = \int\int_D (-1/3 x)/||N(x,y)|| ||N(x, y)|| \text{d}x \text{d}y = - 1/3 \int\int_D x \text{d}x \text{d}y $
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Re: Integrale doppio Analisi 2

Messaggioda ggffgg4 » 22/01/2020, 23:54

Ciao pilloeffe, grazie della risposta ma perchè nell'ultimo integrale hai moltiplicato per il modulo del vettore normale? Non avevi già fatto il prodotto scalare tra rotore del campo e versore normale?
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Re: Integrale doppio Analisi 2

Messaggioda pilloeffe » 23/01/2020, 02:29

ggffgg4 ha scritto:Ciao pilloeffe, grazie della risposta

Prego.
ggffgg4 ha scritto:ma perché nell'ultimo integrale hai moltiplicato per il modulo del vettore normale?

Beh, perché $\text{d}\sigma = ||N(x,y)||\text{d}x \text{d}y $
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Re: Integrale doppio Analisi 2

Messaggioda ggffgg4 » 25/01/2020, 14:43

Ah ok, grazie mille.
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