Freniamo un momento, ragazzi.
In relatività speciale ( ma anche “localmente” in RG , dove in un riferimento inerziale locale vale la RR ) la
norma di un quadrivettore è invariante ; lo spaziotempo è quello piatto di Minkowski, la metrica è $eta_(munu) = diag (1,-1,-1,-1) $ ( coord. cartesiane per lo spazio) . Ci siamo ? Copio e incollo da un vecchio post questo :
Faccio un brevissimo cenno a come si fa il prodotto scalare tra due quadrivettori $A^\mu$ e $B^\nu$ nello spaziotempo piatto della RR , dotato della metrica di Minkowski in coordinate pseudo-euclidee $\eta_(\mu\nu) = diag (1,-1,-1,-1)$ (il primo è il componente temporale, gli altri tre sono spaziali).
In componenti, i due quadrivettori sono : $A^\mu = (A^0,A^1,A^2,A^3) $ , e $ B^\nu = (B^0,B^1,B^2,B^3) $ .
Il prodotto scalare si esegue, tenendo presente che il tensore metrico è diagonale e occorre sommare su indici ripetuti di co- e contro- varianza (convenzione di Einstein), con la formula :
$vecA*vecB = \eta _(\mu\nu) A^\muB^\nu = \eta_(00)A^0B^0 + \eta_(11)A^1B^1 + \eta_(22)A^2B^2 + \eta_(33)A^3B^3 = +A^0B^0 - A^1B^1 - A^2B^2 - A^3B^3 $ .
Alla stessa maniera si trova la norma di un quadrivettore dato . La norma in questo modo può risultare positiva, e allora il 4-vettore è di tipo tempo; nulla, e allora il 4-vettore è di tipo luce ; negativa, e allora il 4-vettore è di tipo spazio.
Questo perché la metrica non è euclidea ma pseudo euclidea.
Alcuni adottano la convenzione opposta per la segnatura della metrica.
Quindi per me l’ipotesi “ se la norma di un 4-vettore è invariante....” non sussiste proprio. La norma di un 4-vettore è invariante, punto e basta!
La questione sollevata da chi ha scritto l’articolo è diversa, credo , ed ha a che fare con la trasformazione della funzione di distribuzione, come spiegato asciuttamente ma chiaramente nelle pagine del Landau- Lifschitz che allego :
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ci siamo fin qui ? Detto nelle mie povere parole, e semplificando al massimo il concetto : dato un volume $V$ in un certo riferimento, che contiene un certo numero di particelle $N$ tutte solidali con V e quindi in quiete rispetto a V , se si osserva il volume da un riferimento in moto relativo rispetto a quello dato esso apparirà contratto nella direzione del moto relativo :
$V’ = V/\gamma$
e il motivo è molto semplice : supponiamo che il volume sia un cubo di lato $L$ , messo con uno spigolo sull’asse $x$ di un OI . Se il cubo è in moto relativo rispetto ad un altro osservatore inerziale O’ nella direzione di $x$ , la lunghezza $L$ dello spigolo risulta contratta rispetto a questo osservatore. Quindi $L’ = L/\gamma$ . Quindi il volume del cubo, rispetto a O’ , risulta contratto per lo stesso fattore $1/\gamma$ . E’ chiaro ?
Ma il numero di particelle contenuto nel cubo è sempre lo stesso , quindi rispetto a O’ la densità delle particelle , intesa come rapporto tra $N$ e il volume, è maggiore per l’OI rispetto al quale il cubo è in moto , essendo il volume più piccolo :
$rho’*V’ = rho*V = N $
Questo vuol dire, in definitiva , il Landau. Insomma, il numero delle particelle non cambia, e quindi è invariante anche la “funzione di distribuzione” nello spazio delle fasi, se proprio vogliamo fare i difficili . Ma lasciamo a Landau il ruolo di “difficile” .
La conservazione del “numero di particelle” per volume dato è alla base del concetto di tensore energia-impulso, e della divergenza tensoriale identicamente nulla di questo tensore.
Ecco che ora sto facendo io il difficile...
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.