- 1. Si provi che esiste una costante $C>0$ tale che
$ab \leq C(a^3+b^(3/2))$ con $a,b \geq 0$
- 2. Si trovino due costanti diverse $C_1, C_2>0$ che, sostituite al postao di C, rendono vera la disuguaglianza sopra.
- 3. Si trovi esplicitamente, se esiste, il minimo delle costanti C>0 che rendono vera la disuguaglianza.
La disuguaglianza può essere riscritta come
$C \geq (ab)/(a^3+b^(3/2))$
Ho pensato, come approccio iniziale, di provare a trovare un massimo della funzione $f(a,b)=(ab)/(a^3+b^(3/2))$, ma non riesco nemmeno a trovare i punti stazionari (sistema indeterminato). Ho pensato anche a un teorema di esistenza del massimo, visto che la funzione è continua (tranne che in $(0,0)$ ove si vede valere la disuguaglianza), ma questo ragionamento non mi aiuterebbe a svolgere i punti 2 e 3.
Qualche suggerimento illuminante?
Grazie