Serie di Laurent

[Ianya]

Buon pomeriggio
Devo sviluppare in serie di Laurent $f(x) =1/(z^2- 3z +2)$ in $abs(z-1)>1$
Ho scritto la funzione come $f(x) =-1/(z-1) + 1/(z-2)$ ed $1/(z-2) = sum_{n=0}^(+infty) (z-1)^(-n-1)$
Per cui $f(x) =-1/(z-1) +sum_{n=0}^(+infty) (z-1)^(-n-1)$
È giusto?
Grazie in anticipo

[Bossmer]

Buon pomeriggio
Devo sviluppare in serie di Laurent $f(x) =1/(z^2- 3z +2)$ in $abs(z-1)>1$

Cosa vuol dire che la devi sviluppare in $abs(z-1)>1$? che centro deve avere la serie? intendi che la devi sviluppare $z=1$ ? da come hai scritto i conti credo tu intenda che la devi sviluppare in $z=1$...

Ho scritto la funzione come $f(x) =-1/(z-1) + 1/(z-2)$

Fino a qui sono d'accordo con te, ma poi non sono d'accordo quando dici

$1/(z-2) = sum_{n=0}^(+infty) (z-1)^(-n-1)$

la funzione $1/(z-2)$ è analitica in $z=1$ quindi la sua serie di Laurent corrisponde con il suo sviluppo di Taylor in $z=1$ che è $$- \sum_{n=0}^{+\infty}(z-1)^n$$

[Ianya]

La serie deve avere centro in 1. Quello che hai scritto tu è lo sviluppo per $ abs(z-1) <1$, io devo scriverlo per $abs(z-1)>1$

[pilloeffe]

Ciao Ianya,

È giusto?

Direi proprio di sì perché si ha:

$f(z) = - 1/(z - 1) + 1/(z - 2) = - 1/(z - 1) + 1/((z - 1) - 1) = - 1/(z - 1) + 1/(z - 1) \cdot 1/(1 - 1/(z - 1)) = $
$ = - 1/(z - 1) + 1/(z - 1) \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}(1/(z - 1))^n = - 1/(z - 1) + \sum_{n = 0}^{+\infty}(z - 1)^{- n - 1} $

Naturalmente per $1/|z - 1| < 1 \iff |z - 1| > 1 $

[Ianya]

Grazie