L'equazione da risolvere è $ y^((5)) - y' = te^(-t) + t $
Ovviamente come prima cosa scrivo l'omogenea associata: $ y^((5)) - y' = 0 $
Poi risolvo il polinomio caratteristico $ P(λ) = λ^5 - λ $ dove trovo $ λ_1 = 0 $ con molteplicità 1 $ (m=1) $ e $ λ_2 = 1 $ con molteplicità 4 $ (m=4) $
Dopodiché scrivo la soluzione dell'omogenea, ovvero $ y_o(t) = c_1 + c_2e^t + c_3te^t + c_4t^2e^t + c_5t^3e^t $
A questo punto bisogna trovare la soluzione particolare: divido l'equazione differenziale iniziale in
$ I) y^((5)) - y' = te^-t $
$ II) y^((5)) - y' = t $
Parto quindi con lo studio della $ I $, che ha una forma del tipo $ Q(t)e^(λt) $ con $Q(t)=t$ polinomio di grado 1 e $λ=-1$, quindi non coincidente né con $λ_1$ né con $λ_2$ (entrambi calcolati prima dal polinomio caratteristico associato). Sapendo questo, scrivo la soluzione particolare (si parla solo della $I$, ricordo) come: $ y_(p,I)(t) = e^-t(At+B) $
Trovo quindi la derivata prima e la derivata quinta:
$ y'_(p,I)(t) = A(e^-t - te^-t) - Be^-t $
$ y'''''_(p,I) = A(5e^-t - te^-t) - Be^t $
Infine, sostituendo all'equazione $I$ e dividendo entrambi i membri per $e^-t$ trovo:
$ 5A - At - B - A + At + B = t $
E mettendo a sistema:
\( \begin{cases} 5A - B + A + B = 0 \\ -A + A = 1 \end{cases} \)
Ed è chiaro ci sia un errore dato che nella seconda equazione del sistema viene $0=1$.
Ora, non avendo ancora la manualità giusta con il metodo di somiglianza e le equazioni differenziali di ordine superiore al primo, sto avendo tantissime difficoltà nel trovare l'errore.
Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi? Ringrazio in anticipo
Continuerò con la risoluzione dell'esercizio stasera
).
