Derivata inversa

[lozaio]

Ciao a voi e buon anno.

Mi trovo con un dubbio riguardo la derivata inversa, ho capito la dimostrazione e devo iniziare a fare qualche esercizio. Vi propongo il dubbio con un esempio.

Se prendiamo la funzione $f(x)=logx=y$ allora la derivata inversa di f sarà $e^y$, se facessi $f'(x)*(f^(-1))'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni. Tuttavia se andassi a sostituire y e x con valori numerici ovviamente essendo $x=e^y$ avrei che il prodotto fa 1.

Ma è corretto da dirsi? Perché in teoria le funzioni a numeratore e^y e denominatore x sono diverse e non ha senso dire che hanno rapporto unitario, inoltre se conosco y non dovrei conoscere x(è quello il bello do questo teorema e applicarlo come faccio io sembra inutile)

Spero qualcuno chiarisca questa mia confusione

[gugo82]

[…] se facessi $f'(x)*(f_1)'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni.

Ciò non ha alcun senso.

Che dice il teorema di derivazione della funzione inversa?


*** EDIT:
Anche dopo la modifica delle 9:56, quanto scritto qui:

[…] se facessi $f'(x)*(f^(-1))'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni.

continua a non avere senso.

[lozaio]

Ho corretto perché volevo far capire il dubbio ma non essendo esperto con le formule avevo pasticciato.

Provo a spiegare la mia idea sperando di far capire il dubbio: quello che dice il teorema (o meglio quello che ho capito) è che

$(f^(-1))'x=1/(f'(f^(-1)y)$

ossia che la derivata della funzione inversa è data dall'inverso della derivata della funzione f(x) e fatto questo si va a sostituire la funzione $f^(-1)=e^y$ all'interno.

Quindi: $1/(f'(f^(-1)y)=1/(1/x)|_(x=e^y)$ cioè $e^y$

Se ora prendessi $f'(x)*(f^(-1))'$ immaginavo di fare (derivata logaritmo)*(derivata dell'inversa) cioè $1/x*e^y$ non vedo l'errore

Ti pego aiutami!

[gugo82]

Cosa vuoi fare calcolando quel prodotto?

[lozaio]

Intuitivamente mi sembra sempre fare 1 in ogni punto lo si calcoli per quanto dicevo nell'ultimo messaggio. Non capisco perché mi vuoi far intendere ci sia un errore nel mio vedere le cose. Ci ho riflettuto a lungo ma non riesco a capire il mio errore

[gugo82]

Non capisco perché mi vuoi far intendere ci sia un errore nel mio vedere le cose. Ci ho riflettuto a lungo ma non riesco a capire il mio errore

Vediamo…

[…] se facessi $f'(x)*(f^(-1))'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni.

Come può una funzione della sola $x$ dipendere anche da un’altra variabile (la $y$)?

[lozaio]

Volevo ringraiare per le risposte

e in realtà volevo far presente che sono un asino, la mia domanda era $f'(x)*(f^(-1))'(y)=(e^y)/x=1$, non so perché avessi scritto x

[lozaio]

Se ho capito la risposta, non dovrei averne. E' giusto il valore 1 perché andando a sostituire l'inversa si semplificano numericamente.

Però non garantisco di aver preso un gramchio.