Insiemi boreliani

[ludovica_97]

Buongiorno, ho il seguente esercizio:
"Sia $A={(x,y) \in mathbb{R^2}:y>x-7, x^2+y^3≤2}$ è un boreliano."

La prima e unica cosa che mi viene in mente è di mostrare che abbia una forma del tipo (a,b) o [a,b) o [a,b] o (a,b] (ovviamente è in due dimensioni non in una) ma non so né se sia corretto né come farlo

[Wilde]

Da un punto di vista topologico, gli insiemi
\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:y>x-7\}
\]
e
\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:x^2+y^3≤2\}
\]
sono aperti, chiusi, ... ?

[gugo82]

@ ludovica_97: Due problemi: sei in $RR^2$ e non in $RR$ (quindi cosa sono gli insiemi $[a,b]$, $(a,b]$, etc…)?
Poi, secondo te sono borelliani solo gli intervalli?

Ricorda cos’è la $sigma$-algebra di Borel e ragiona sul consiglio che ti ha dato Wilde.

[ludovica_97]

Da un punto di vista topologico, gli insiemi
\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:y>x-7\}
\]
e
\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:x^2+y^3≤2\}
\]
sono aperti, chiusi, ... ?

B è aperto e C è chiuso... Questo significa che sono due boreliani e che quindi intersezione di boreliani è ancora boreliana

[ludovica_97]

Ok quindi ho fatto, con la stessa idea anche quest'altro che mi dice che
$A={(x,y) \in mathbb{R^2}: 1<x+2y<2, x>0, y≥0}$ e $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$
In questo caso spezzo A nei tre insiemi dei quali è intersezione, i primi due sono aperti, il terzo è chiuso, quindi è intersezione di Boreliani ed è Boreliano. Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto. Il problema è che ora mi chiede anche la misura di questi due

[gugo82]

[…] $B= {(x,y) \in A: x \in mathbb{Q}}$.
[…] Per quanto riguarda B, può essere visto come intersezione di A, che è Boreliano, con l'insieme degli $x \in \mathbb{Q}$ che è un Boreliano e quindi ho fatto.

Stesso errore di prima. Perché?

Il problema è che ora mi chiede anche la misura di questi due

Indovina un po' quale può essere la misura.
Poi dimostralo usando le proprietà della misura di Lebesgue.


P.S.: Hai provato ad accennare un disegno di $A$ e $B$?

[ludovica_97]

Allora ho fatto un disegno di A e dovrei esserci, la misura dovrebbe essere l'area del quadrilatero che mi viene fuori e quindi dovrebbe essere $\frac{3}{8}$.
Per B invece non saprei come procedere. Dal tuo ultimo messaggio sembrerebbe che è anche sbagliato dire che è Boreliano (?)

[gugo82]

Non è sbagliato cosa scrivi, ma la giustificazione che dai del fatto.

[ludovica_97]

Non sto capendo. Quale dovrebbe essere la giustificazione corretta?

[gugo82]

Non sto capendo.

Scusa, ma $QQ$ ti sembra un borelliano di $RR^2$?

Quale dovrebbe essere la giustificazione corretta?

Insomma, prima di capire quale sia la giustificazione corretta, assicurati di aver capito perché quella scritta sopra è sbagliata…