Perché il $\delta$ nelle "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$" non può dipendere da $x$?

Messaggioda Mephlip » 22/01/2020, 07:14

Salve a tutti, durante gli studi abbiamo dimostrato svariati risultati nell'ambito dell'analisi con le cosiddette "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$"; un "dettaglio" di queste dimostrazioni è che $\delta>0$ deve dipendere solo da $\varepsilon$ e da $x_0$, mai da $x$.
A caldo mi verrebbe da dire che, se esso dipendesse anche da $x$, essendo $x$ variabile lo sarebbe anche $\varepsilon$ e non è ciò che vogliamo; infatti vogliamo che, fissato $\varepsilon>0$, si esibisca un $\delta>0$ tale che, ad esempio per la continuità, se $0<|x-x_0|<\delta$ risulti $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, ossia vogliamo che la stima di $|f(x)-f(x_0)|$ sia arbitraria e ciò non può avvenire se $\varepsilon$ è variabile.
Per caso è questo il motivo? O c'è qualcosa di più "profondo"?
Grazie per il vostro tempo!
Mephlip
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 608 di 653
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Perché il $\delta$ nelle "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$" non può dipendere da $x$?

Messaggioda dissonance » 22/01/2020, 09:37

Prova a scrivere la definizione di "limite" con \(\delta\) che dipende da \(x\). Secondo me, non ha senso proprio a livello logico. Tu comunque prova a scriverla, forse mi sbaglio io.
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 15996 di 16144
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Perché il $\delta$ nelle "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$" non può dipendere da $x$?

Messaggioda vict85 » 22/01/2020, 11:27

Il valore \(\delta\) è il raggio di una palla aperta nel dominio, insomma tu di fatto stai cercando un intervallo che contiene \(x_0\) e la cui immagine è contenuta in un qualche intervallo del codominio. Può la lunghezza di un intervallo dipendere dal valore di un suo elemento?
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 10051 di 10075
Iscritto il: 16/01/2008, 00:13
Località: Berlin

Re: Perché il $\delta$ nelle "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$" non può dipendere da $x$?

Messaggioda gugo82 » 22/01/2020, 20:19

Una variabile quantificata da $EE$ non può dipendere da variabili quantificate con $AA$ dopo di essa; intuitivamente, il susseguirsi dei quantificatori $EE$ e $AA$ significa che la variabile quantificata da $EE$ va bene per ogni possibile scelta della variabile quantificata da $AA$, dunque l’ipotizzare che la variabile quantificata da $EE$ dipenda da quella quantificata da $AA$ seguente significherebbe dire esattamente il contrario.
Così nella formula $AA epsilon > 0, EE delta > 0:\ AA x in text(etc…)$, la variabile $delta$ non può dipendere da $x$.
Did you exchange
A walk on part in the war
For a lead role in a cage? (Roger Waters)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23237 di 23387
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Perché il $\delta$ nelle "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$" non può dipendere da $x$?

Messaggioda Mephlip » 24/01/2020, 03:44

@dissonance: In effetti è quello che poi ha esplicitato gugo82, avevi ragione!

@vict85: In effetti sarebbe almeno bizzarro, non ho pensato a quest'interpretazione; mi ero fossilizzato sull'aspetto logico, grazie per il punto di vista!

@gugo82: Perfetto, grazie. Questo chiarisce molto!
gugo82 ha scritto:Uintuitivamente, il susseguirsi dei quantificatori $ EE $ e $ AA $ significa che la variabile quantificata da $ EE $ va bene per ogni possibile scelta della variabile quantificata da $ AA $

Posso chiedere qual è il motivo non intuitivo? Sono curioso e di logica so poco e nulla! :-D
Mephlip
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 612 di 653
Iscritto il: 03/06/2018, 23:53

Re: Perché il $\delta$ nelle "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$" non può dipendere da $x$?

Messaggioda vict85 » 24/01/2020, 11:44

Dal punto di vista logico, supponi di avere una formula dipendente da due variabili \(\varphi( a, b )\). Di questa formula puoi determinarne la verità solo se fissi \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \). Usando un quantificatore \(\displaystyle Q \) (dove \(\displaystyle Q \) può essere \(\displaystyle \exists \) oppure \(\displaystyle \forall \)) puoi trasformare \(\displaystyle \varphi \) in una formula che dipende da una sola variabile. La variabile che è stata quantificata diventa muta e smette di essere un input della formula.

Nota che l'ordine è importante se i quantificatori sono diversi. Mentre puoi spesso cambiare l'ordine quando usi lo stesso quantificatore più volte.

Venendo al caso specifico. Se tu dici \(\exists a, \forall b, \varphi(a,b)\) allora sta dicendo che esiste un \(a\) per cui \(\forall b, \varphi(a,b)\) è vera. Similmente \(\forall b, \exists a, \varphi(a,b)\) equivale a dire che \(\displaystyle \exists a, \varphi(a,b) \) è vera indipendentemente dalla scelta di \(\displaystyle b \).
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 10052 di 10075
Iscritto il: 16/01/2008, 00:13
Località: Berlin

Re: Perché il $\delta$ nelle "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$" non può dipendere da $x$?

Messaggioda gugo82 » 24/01/2020, 15:48

vict85 ha scritto:Dal punto di vista logico, supponi di avere una formula dipendente da due variabili \(\varphi( a, b )\). Di questa formula puoi determinarne la verità solo se fissi \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \). Usando un quantificatore \(\displaystyle Q \) (dove \(\displaystyle Q \) può essere \(\displaystyle \exists \) oppure \(\displaystyle \forall \)) puoi trasformare \(\displaystyle \varphi \) in una formula che dipende da una sola variabile. La variabile che è stata quantificata diventa muta e smette di essere un input della formula.

Nota che l'ordine è importante se i quantificatori sono diversi. Mentre puoi spesso cambiare l'ordine quando usi lo stesso quantificatore più volte.

Venendo al caso specifico. Se tu dici \(\exists a, \forall b, \varphi(a,b)\) allora sta dicendo che esiste un \(a\) per cui \(\forall b, \varphi(a,b)\) è vera. Similmente \(\forall b, \exists a, \varphi(a,b)\) equivale a dire che \(\displaystyle \exists a, \varphi(a,b) \) è vera indipendentemente dalla scelta di \(\displaystyle b \).

Bella risposta, semplice e concisa.
Non avrei saputo dire meglio. Brav. :wink:
Did you exchange
A walk on part in the war
For a lead role in a cage? (Roger Waters)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 23250 di 23387
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 14 ospiti