Sia
\( f : R2[x] \rightarrow R2[x] \)
l’applicazione definita dalla posizione
\( ax^2+bx+c \rightarrow 2ax+\lambda \)
con a, b, c ∈ R e λ parametro reale.
Determinare per quali valori del parametro λ l’applicazione f è lineare ed ammette 3 come autovettore.
Se f è lineare deve essere che presi \( p(x) = ax^2+bx+c \) e \( p' (x)= a'x^2+b'x+c' \) :
\( f(p(x)+p'(x))= f(p(x))+f(p'(x)) \)
\( 2(a+a')x+\lambda = 2a'x+\lambda +2ax+\lambda \)
da cui avrò che \( \lambda = 0 \) .
Adesso se considero \( \lambda = 0 \) per vedere se 3 è autovettore considero:
\( f : R3\rightarrow R3 \)
\( (a,b,c)\rightarrow (0,2a,0) \) .
Quando considero la matrice associata al riferimento cartesiano A e vado a considerare \( |A-tIn|= -t^3 \) ma la \( mg(0) = 2 \) , quindi la funzione non è diagonalizzabile.
Cosa sbaglio e come faccio a dimostrare che 3 è autovettore?
Grazie dell'aiuto