Dominio integrale doppio

Messaggioda antor » 23/01/2020, 23:24

Ciao a tutti, scrivo su questo forum per avere una conferma. Ho un integrale doppio e mi viene dato un dominio
$D=\{ x<= y <= 2x, 1 <= x+y <= 2\}$. Dunque disegnando il grafico ottengo 4 rette. Dunque la $y$ è compresa tra $x$ e $2x$, mentre la $x$ è compresa tra 0,3 quindi $3/10$ e $1$. Vi trovate oppure ho sbagliato qualcosa?
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda gugo82 » 23/01/2020, 23:43

Non credo.

Le quattro rette delimitano il trapezio in figura:
        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico


e vedo difficile descrivere tale trapezio solo con due disuguaglianze riespetto ad $y$ ed alla $x$. Infatti, le quattro limitazioni che indichi:
antor ha scritto:[…] la $ y $ è compresa tra $ x $ e $ 2x $, mentre la $ x $ è compresa tra 0,3 quindi $ 3/10 $ e $ 1 $.

individuano il trapezio:
        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico


ben diverso dal precedente.
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda antor » 24/01/2020, 00:00

Quindi come potrei fare? Dividendo il mio dominio non normale in due domini? Non riesco a pensare ad una possibile soluzione
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 24/01/2020, 00:06

Ciao antor,
antor ha scritto:Quindi come potrei fare?

E' abbastanza un classico: usando la trasformazione $u = y/x $ e $v = x + y $
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda gugo82 » 24/01/2020, 03:17

pilloeffe ha scritto:Ciao antor,
antor ha scritto:Quindi come potrei fare?

E' abbastanza un classico: usando la trasformazione $u = y/x $ e $v = x + y $

In generale, l'utilità di un cambiamento di variabili dipende non solo dal dominio, ma anche dalla funzione integranda.

Quindi aspetterei che antor proponga il testo completo dell'esercizio, prima di avanzare ipotesi.
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 24/01/2020, 10:05

gugo82 ha scritto:In generale, l'utilità di un cambiamento di variabili dipende non solo dal dominio, ma anche dalla funzione integranda.

Giusto. Diciamo che, come in altre occasioni, ho fatto uso delle mie doti di veggenza, sulle quali però sono pronto a scommettere... :wink:
Mi auguro anch'io che antor proponga il testo completo dell'esercizio, anche perché sono curioso di sapere se ho visto giusto o se dovrò chiedere venia...
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda antor » 24/01/2020, 15:07

L'integrale doppio è il seguente f(x,y) = 1/x+y dxdy
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 24/01/2020, 15:33

Se intendi

$\int\int_D 1/(x + y) \text{d}x \text{d}y $

ove $D = {(x, y) \in \RR^2 : x <= y <= 2x, 1 <= x+y <= 2} $, allora ho indovinato e per risolverlo puoi usare la trasformazione che ti ho già suggerito, sicché diventa $D' = {(u, v) \in \RR^2 : 1 <= u <= 2, 1 <= v <= 2} $ e la funzione integranda semplicemente $1/v $, senza dimenticarti lo jacobiano della trasformazione... :wink:
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda gugo82 » 24/01/2020, 15:52

pilloeffe ha scritto:
gugo82 ha scritto:In generale, l'utilità di un cambiamento di variabili dipende non solo dal dominio, ma anche dalla funzione integranda.

Giusto. Diciamo che, come in altre occasioni, ho fatto uso delle mie doti di veggenza, sulle quali però sono pronto a scommettere... :wink:

Volendola dire in musica:

Nun c'è bisogno 'a zingara
P'addivinà pilloé
:lol:

Dopotutto, integrali da libro (o da prova d'esame) sono. :wink:
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Re: Dominio integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 24/01/2020, 16:23

gugo82 ha scritto:Nun c'è bisogno 'a zingara
P'addivinà pilloé
:lol:

:lol: :lol: :lol:
Lo conosci anche tu il detto! Io conosco di più la "versione pugliese" perché mia moglie è di quelle parti, che tradotto in italiano (il dialetto pugliese non lo conosco anche se quando non lo parlano troppo stretto un po' lo capisco... :wink: ) recita: "Non ci vuole la zingara per indovinare la fortuna".
Per cui siamo lì... :wink:
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