Salve a tutti, avrei dei problemi con questo esercizio:
Sia $f_n(x) = x/(n+1)sin(x/n)$. Dire se la funzione somma $f(x)$ della serie $\sum_(n=1)^ ∞(f_n(x))$ è continua su $\R$.
Essendo la continuità una proprietà locale, verifico la continuità su un intervallo arbitrario (a,b) contenuto in R.
$f(x)$ è continua se la serie delle $f_n(x)$,che sono continue, converge uniformemente in (a,b).
Passo dalla convergenza totale e qui mi blocco perchè sup$|x/(n+1)sin(x/n)|$ su (a,b) come lo trovo?
Ho provato a farne la derivata e viene:
$f'_n(x) = 1/(n+1)(sin(x/n)+x/ncos(x/n)) = 0$ per x = 0 e quindi avrei che se 0 appartiene ad (a,b) la funzione è continua ma altrimenti come faccio a trovare sup$|x/(n+1)sin(x/n)|$ su (a,b)?