Intervengo perché non si è sottolineato il punto cruciale del problema: per poter risolvere l'esercizio è necessario imporre che le variabili $X,Y$ siano stocasticamente indipendenti. In caso contrario sarebbero necessarie ulteriori informazioni per determinare $f(x,y)$.
@Ub4thaan: tu hai sottinteso l'indipendenza in quanto hai impostato nell'integrale $f(x,y)=f(x)f(y)$
Il metodo utilizzato (che, mi pare di capire, hai dedotto in modo intuitivo) è corretto. Purtroppo però gli estremi di integrazione sono sbagliati.
Dai post precedenti mi sembri un utente moderatamente preparato e quindi sono sicuro che saprai correggere quell'errorino in autonomia.
Il giusto suggerimento di @ghira si riferiva proprio a questo errore
Se il tuo libro è carente guarda qui,
capitolo 6Un esercizio identico al tuo è l'esempio 6.1 di pag 133. Ti consiglio VIVAMENTE di studiare bene tutto il capitolo; l'esercizio è propedeutico allo studio delle trasformazioni di vettori aleatori e questo capiloto ti dà la chiave per risolvere qualunque esercizio purché tu abbia una discreta base sull'integrazione doppia
Un'ultima precisazione, @Ub4thaan
Quando scrvi: distribuzione esponenziale di parametro $theta$ obblighi chi si accinge a rispondere a lanciare una moneta; infatti la distribuzione in oggetto è parametrizzata in due diverse maniere equivalenti
1) $f(x,theta)=theta e^(-theta x)$
2)$f(x,theta)=1/theta e^(-x/theta)$
Entrambe, per $theta>0$ e definite su $x>=0$
Quindi i casi sono due: o scrivi anche la densità oppure definisci l'esponenziale in termini di media e non di parametro; es, se scrivi $X$ si distribuisce come un'esponenziale negativa di media 3 è chiaro quale sia la sua densità.